W zależności od a okręśl liczbę rozwiązań

michalalex132 · Post autor: **michalalex132** » 2 lut 2015, o 18:10

Witam,

mam układ:

\(\displaystyle{ x + 2y + az = a-4}\)
\(\displaystyle{ x + 2y - 4z = 2a}\)
\(\displaystyle{ 3x + 3ay + 6z = 3a}\)

Z moich wyliczeń wynika, że:

-gdy \(\displaystyle{ a = 2,}\) rząd macierzy głównej nie jest równy rzędowi m. uzupełnionej, zatem układ jest sprzeczny
- gdy \(\displaystyle{ a \neq 2}\) - rząd macierzy głównej jest równy rzędowi uzupełnionej i jest mniejszy niż liczba niewiadomych, zatem układ jest nieoznaczony.

Czy rozwiązanie jest prawidłowe?

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 2 lut 2015, o 21:36

Coś poknociłeś Kolego!
Dla \(\displaystyle{ a=2}\) i jeszcze jednej wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) układ nie jest oznaczony. W pozostałych przypadkach jest oznaczony.
Dla \(\displaystyle{ a=2}\) układ jest sprzeczny, a dla tej drugiej wartości ...

michalalex132 · Post autor: **michalalex132** » 2 lut 2015, o 22:41

Otrzymuję taką macierz po przekształceniach:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&a&(a-4)\\0&0&(-4-a)&(a+4)\\0&(3a-6)&(6-3a)&12\end{bmatrix}}\)

Czyli wynika z tego, że dla a = 2 układ jest sprzeczny.

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 2 lut 2015, o 22:43

A dla \(\displaystyle{ a\neq2}\) ?

michalalex132 · Post autor: **michalalex132** » 2 lut 2015, o 23:09

Wtedy układ, na mocy tw. Kroneckera-Capellego, ma rozwiązania, czyli nie jest nieoznaczony. Wtedy R(A) = R(U) = n.

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 2 lut 2015, o 23:16

Nieprawda. Jest jeszcze jedna wartość \(\displaystyle{ a}\) , dla której układ nie jest oznaczony.

michalalex132 · Post autor: **michalalex132** » 3 lut 2015, o 00:17

Dla \(\displaystyle{ a = -4}\): \(\displaystyle{ R(A) = R(B) < n}\) - układ nieoznaczony

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 3 lut 2015, o 00:33

Teraz dobrze.