Problem z wyznaczaniem macierzy przeksztalcenia

[Dokladnie]

Wyznaczyć wartości własne i wektory własne odwzorowania \(\displaystyle{ F: R _{2}[x] \rightarrow R _{2}[x]}\), gdy \(\displaystyle{ F(w(x))=2xw'(x)+x ^{2}w(0)+w(2)}\), gdzie \(\displaystyle{ R _{2}[x]}\) jest przestrzenią wielomianów rzeczywistych o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej drugiego z bazą \(\displaystyle{ B _{0}=(e _{1}(x)=1, e_{2}(x)=x, e_{3}(x)=x^{2})}\)

Mam problem z wyznaczaniem macierzy przkształcenia. Jak się za to zabrać?
zrobiłem tak ( wątpie żeby było dobrze):
\(\displaystyle{ c(x)=ax^{2}+ bx+c
F(c(x))=(4a+c)x^{2}+2bx+4a+2b+c}\)

samo wyznaczenie wartości własnych nie jest problemem ale jak znaleźć tą bazę?

[Medea 2]

Wskazówka: czym jest \(\displaystyle{ F(e_1(x)), F(e_2(x)), F(e_3(x))}\)?

[Dokladnie]

Wskazówka: czym jest \(\displaystyle{ F(e_1(x)), F(e_2(x)), F(e_3(x))}\)?

Macierzą \(\displaystyle{ A_{F}}\) ?
Wyszła mi taka : \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0&2\\0&2&0\\1&2&4\end{bmatrix}}\)
i z niej policzyć wartości własne już potrafię niech mi ktoś tylko powie czy dobrze myślę
Pozdrawiam

[Medea 2]

Zdecydowanie nie - nie są macierzą. Są obrazami wersorów, więc rozpinają obraz tego przekształcenia. Wszelkie znaki na niebie i ziemi mówią, że \(\displaystyle{ F(e_1) = 0 + x^2 \cdot 1 + 1}\), podobnie pozostałe.