Baza jądra oraz obrazu

[mortan517]

Mam znaleźć bazę jądra i obrazu takiego odwzorowania:

\(\displaystyle{ F: \RR^3 \ni (x, y, z) \rightarrow (x+y-z, 2y-2z, x-y+z, 3x) \in \RR^4}\)

Więc przyrównując do zera otrzymałem, że wymiar jądra wynosi \(\displaystyle{ 1}\), no więc wymiar obrazu jest równy \(\displaystyle{ 2}\).

Baza jądra wyszła mi \(\displaystyle{ (0, t, t)}\) czyli np. wektor \(\displaystyle{ (0, 1, 1)}\), ale jak znaleźć bazę obrazu?

[bartek118]

Oblicz wartość na wektorach bazowych, z wektorów które otrzymasz wybierasz te liniowo niezależne.

[mortan517]

Czyli mając bazę kanoniczną:

\(\displaystyle{ e_1=(1, 0, 0) \ \ e_2=(0, 1, 0) \ \ e_3=(0, 0, 1)}\)

Otrzymuję wektory:

\(\displaystyle{ (1, 0, 1, 3) \\ (1, 2, -1, 0) \\ (-1, -2, 1, 0)}\)

I wybieram np. dwa pierwsze bo są liniowo niezależne i to one są bazą obrazu?

[bartek118]

A sprawdziłeś, że wszystkie trzy są zależne? Trzeba wybrać wszystkie, które są liniowo niezależne.

[mortan517]

Widać, że drugi i trzeci są zależne, więc trzeci wyrzucam, a dwa pierwsze są niezależne (z resztą jakieś dwa muszą być, bo taki jest wymiar obrazu).

[bartek118]

OK, zgadza się

[mortan517]

Super, dzięki za pomoc.