Rozwiązać układ równań, macierze

[Bagadyr]

Witam mam do rozwiązania taki układ równań i nie moge wgl sobie z nim poradzić, czy ktoś mogłby mi pomóc?

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y+4z -s=6 \\ x+6y+2z-s=-2\end{cases}}\)

[Lbubsazob]

Możesz drugie równanie pomnożyć przez \(\displaystyle{ (-1)}\) i dodać stronami, ale i tak wyjdzie rozwiązanie zależne od dwóch parametrów.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y+4z-s=6 \\
-x-6y-2z+s=2 \end{cases}}\)
Po dodaniu stronami zostanie \(\displaystyle{ x-5y+2z=8}\), czyli \(\displaystyle{ x=8+5y-2z}\). Wstaw to do drugiego równania i wtedy wyznaczysz \(\displaystyle{ s}\) w zależności od parametrów \(\displaystyle{ y,z}\).

[Bagadyr]

Chodzi o to że muszę to rozwiązać w macierzy tylko nie wiem jak.

[Lbubsazob]

No to możesz sobie utworzyć macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc|c} 2&1&4&-1&6 \\ 1&6&2&-1&-2\end{array}\right]}\) i zastosować eliminację Gaussa: pierwszy wyraz podzielić przez 2, od drugiego odjąć pierwszy. Wtedy dojdziesz do równania z trzema niewiadomymi (\(\displaystyle{ x}\) się wyzeruje) i z tego musisz wyznaczyć jedną zmienną w zależności od dwóch pozostałych.

Jest to układ dwóch równań z czterema niewiadomymi, wobec tego należy przyjąć dwa parametry i w zależności od nich wyznaczyć dwa rozwiązania.

[Bagadyr]

Dobra, dziękuje za odpowiedz ale poległem i nie umiem tego rozwiązać.

[Lbubsazob]

A czego dokładnie nie rozumiesz? Wiesz, jak zastosować eliminację Gaussa dla tej macierzy? Postaram Ci się wytłumaczyć, tylko nie wiem, w którym momencie utknąłeś.

[Bagadyr]

Bo pytałem też innych ze znajomych i każdy z nich że te równiania w sensie macierze nie mają rozwiązań. Jestem przy równaniu z trzema niewiadomymi.

[Lbubsazob]

No dobra, więc po zastosowaniu eliminacji Gaussa powstaje macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc|c} 1 &\frac{1}{2} &2 &-\frac{1}{2}& 3 \\
0& \frac{11}{2}& 0& -\frac{1}{2} &-5 \end{array}\right]}\)

Mamy więc równanie \(\displaystyle{ \frac{11}{2}y-\frac{1}{2}s=-5}\), czyli \(\displaystyle{ s=11y+10}\).
Wstawiamy to do pierwszego równania: \(\displaystyle{ x+\frac{1}{2}y+2z-\frac{1}{2}s=3}\),
otrzymujemy: \(\displaystyle{ x+\frac{1}{2}y+2z-\frac{11}{2}y-5=3}\),
czyli \(\displaystyle{ x+2z-5y=8}\).
W takim razie można wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\): \(\displaystyle{ x=8-2z+5y}\).

Ostatecznie otrzymaliśmy rozwiązania zależne od parametrów \(\displaystyle{ z, y}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=8-2z+5y \\ s=11y+10 \\ y\in\mathbb{R} \\ z\in\mathbb{R} \end{cases}}\)
Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

[Bagadyr]

Dziękuję bardzo za pomoc, ponieważ nie mogłem sobie z tym dać rady.