Sprowadzić formę kwadratową \(\displaystyle{ f(x_{1},x_{2},x_{3} )=x_{1} ^{2} +3 x_{2} ^{2} + x_{3} ^{2} + 4 x_{1} *x_{3}\) do postaci kanonicznej,
znaleźć macierz odpowiadającą zamianie zmiennych. Co to znaczy, że forma kwadratowa jest
istotnie (ściśle) ujemnie określona (definicja)? Czy ta forma taka jest?
Otrzymałem :
\(\displaystyle{ M_{E}(f)=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&3&2\\0&2&1\end{bmatrix}}\) teraz obliczam w. własne tej macierzy
\(\displaystyle{ \lambda _{1} = 2 -\sqrt{5} , \lambda _{2} = 2+ \sqrt{5} ,\lambda _{3}= 1}\)
Więc macierz \(\displaystyle{ M_{B}(f)=\begin{bmatrix} 2 -\sqrt{5}&0&0\\0&2 +\sqrt{5}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\) więc \(\displaystyle{ f(y_{1},y_{2},y_{3} )=(2 -\sqrt{5})y_{1} ^{2} +(2 +\sqrt{5})y_{2} ^{2} + y_{3} ^{2}}\)
sprawdzenie czy forma jest istotnie ujemna dokonałem na macierzy \(\displaystyle{ M_{E}(f)}\) i otrzymałem odpowiedź, ze forma nie jest istotnie ujemnie określona, nie wiem tylko jaka jest definicja macierzy istotnie ujemnej . Dodatkowo prosiłbym kogoś o sprawdzenie ( metody )
Pozdrawiam