Transponowanymi wektorów

Solester · Post autor: **Solester** » 31 sty 2015, o 19:47

Witam przeszukalem Internet w poszukiwaniu wyjaśnienia co zrobić z wektorami transponowanymi. Mam obliczyć cos kąta pomiędzy dwoma wektorami z w \(\displaystyle{ 4\mathbb{R}}\) zapisane są do potegi \(\displaystyle{ T}\) co moim zdaniem oznacza odwrócenie tak jak w macierzy. Napiszę te wektory bez potegi ale one są do potegi \(\displaystyle{ T}\) tylko pisze z komórki i ciężko mi zapisać to poprawnie. No \(\displaystyle{ \left( 1,4,-1,2 \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 3,-1,2,-1 \right)}\) . Umiem obliczyć kat tylko nie mogę sensownie odwrócić tych wektorow. Nie mogłem znaleść dobrego działu więc oficjalnie pytam o wskazanie jakiejś strony z opisem lub przykładem. Dzięki

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 31 sty 2015, o 21:38

Wektory transponuje się po to, by mnożenie z macierzami było przyjemne, tzn. obraz \(\displaystyle{ V}\) przez przekształcenie \(\displaystyle{ f}\) zadane macierzą \(\displaystyle{ A}\) to \(\displaystyle{ AV}\).

Solester · Post autor: **Solester** » 31 sty 2015, o 22:39

Dzięki za chęci ale nie zrozumiałem, potrzebuje tylko wiedzieć jakie jest działanie aby otrzymać wektory których użyje do następnych obliczeń,może to jest podobne jak w macierzystych lub jest to jakaś trywialna rzecz ale ja tego nie widzę, nie muszę wiedzieć po co to jest tylko jak je przekształcać na normalne. Z tych oznaczeń tylko macierz A kojarzę.

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 31 sty 2015, o 22:53

Załóżmy, że masz dwa wektory: \(\displaystyle{ (1,4,-1,2)}\) i \(\displaystyle{ (3,-1,2,-1)}\). Chcesz policzyć ich iloczyn skalarny. No więc... \(\displaystyle{ 1 \cdot 3 - 4 \cdot 1 - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 3 - 4 - 2 - 2 = -1}\). Czy transponowanie wektorów zmienia jakoś sposób obliczeń?

Solester · Post autor: **Solester** » 1 lut 2015, o 09:36

Ok mówiłem że iloczyn składany długość wektora to mały pikuś, ale te wektory są transponowane, więc trzeba najpierw zadziałać jakąś operacją zanim policzę kąt. Mam nadzieję że się tego dowiem i przy okazji osoba googlujaca ten temat będzie miała prostą odpowiedz w tym temacie. Jeśli faktycznie liczyło się tak samo to po co mam T przy sektorach w zadadniu, podpucha?

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 1 lut 2015, o 10:07

Nie rozumiem Twoich problemów. W algebrze liniowej uzasadnia się to tak: załóżmy, że mamy przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f \colon \mathbb R^m \to \mathbb R^n}\) i wektor \(\displaystyle{ V}\) o \(\displaystyle{ m}\) współrzędnych (element p. liniowej \(\displaystyle{ \mathbb R^m}\)). Jesteśmy zainteresowani obrazem tego wektora przez to przekształcenie. Co robimy?

Znajdujemy macierz \(\displaystyle{ A \in M_{n \times m}(\mathbb R)}\) (\(\displaystyle{ n}\) wierszy, \(\displaystyle{ m}\) kolumn) i mnożymy ją przez wektor \(\displaystyle{ V}\). Żeby to się dało zrobić, odpowiednie wymiary muszą się zgadzać: liczba wierszy wektora \(\displaystyle{ V}\) równa liczbie kolumn macierzy \(\displaystyle{ A}\). Szukanym obrazem jest \(\displaystyle{ AV}\). Oznacza to, że wektor \(\displaystyle{ V}\) jest "pionowy" i pisze się np. \(\displaystyle{ V = [0, -5, 3]^T}\).

Po co to \(\displaystyle{ T}\) i dlaczego nie można od razu napisać go w postaci pionowej? Dla oszczędności miejsca.

Solester · Post autor: **Solester** » 1 lut 2015, o 18:06

Czyli ja to rozumiem tak, to jest ten sam wektor, który ma współrzedne \(\displaystyle{ x,y,z,w}\) , a jedynie ich zapis jest podany w kolumnie a nie w rzędzie. A kąt pomiędzy wektorami będzie taki sam , jak i sposób liczenia, bo z tymi wektorami nic nie robimy.

Czy w sytuacji gdy sprawdzam liniową niezależność wektorów gdy przyrównuję wektory do wektora \(\displaystyle{ (0,0,0,0)}\) i mam układ czterech zmiennych, wtedy transponuję(odwracam) tą macierz?

W każdym razie gdy policzę cos kąta z wektorów zapisanych bez \(\displaystyle{ T}\) to będzie dobrze?