Bazy podprzestrzeni liniowej / macierz zerowa

Kamillo178 · Post autor: **Kamillo178** » 31 sty 2015, o 18:14

Witam!
Chciałbym Was prosić o pomoc w kilku zadaniach na egzamin z algebry Jest kilka pytań, których nie jestem pewien, dlatego prosiłbym o pomoc. Odpowiedź musimy uzasadnić.

1. Jeśli macierz \(\displaystyle{ A}\) jest taka, że \(\displaystyle{ AA = A}\), to \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą zerową.
Dwie macierze zerowe pomnożone przez siebie dadzą zerową, tylko takie pytanie, dla upewnienia, czy nie jest zakazane mnożenie dwóch macierzy zerowych?

2. Jeśli zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są bazami podprzestrzeni liniowych \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ W}\) przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\), to \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest bazą \(\displaystyle{ U \cup W}\).

3. Jeśli zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są bazami podprzestrzeni liniowych \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ W}\) przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\), to \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest bazą \(\displaystyle{ U \cap W}\).

Dwa ostatnie pytania dosyć podchwytliwe. Dzięki z góry za pomoc

yorgin · Post autor: **yorgin** » 31 sty 2015, o 18:18

1. Można mnożyć macierze zerowe. Mnożenie jest możliwe o ile tylko wymiary macierzy się zgadzają, wyrazy nie mają nic na rzeczy.

1 + 2 + 3. Żadne ze stwierdzeń nie jest prawdziwe. Poszukaj (prostych) przykładów.

Kamillo178 · Post autor: **Kamillo178** » 31 sty 2015, o 18:28

Wg mnie pierwsze stwierdzenie nie jest fałszywe. Może być, ale nie musi po prostu.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 31 sty 2015, o 20:37

No to jest to stwierdzenie prawdziwe, czy nie? Nie może być częściowo prawdziwe.

Twierdzenia formułowane są tak, by dowolny obiekt spełniający założenia spełniał też tezę. Nie tylko niektóre spełniające założenia spełniały też tezę.

Kamillo178 · Post autor: **Kamillo178** » 1 lut 2015, o 15:16

Racja, wyraziłem się niezbyt poprawnie. U nas wykładowca lubi, kiedy dokładnie tłumaczymy dane rzeczy, tzn. np. czasami coś jest prawdą, czasami nie, czyli twierdzenie dla ogólności prawdziwe nie jest, ale są przypadki, dla których jest prawdziwe.
Co do dwóch pozostałych pytań, to rzeczywiście logicznie brzmi, że jest to nieprawda, bo w U i W mogą być wektory, które nie będą liniowo niezależne z tymi z bazy \(\displaystyle{ A \cup B}\) czy \(\displaystyle{ A \cap B}\), tylko gdyby przyszło mi na egzaminie dać jakiś prosty kontrprzykład, to nie przychodzi mi do głowy żadna prosta rzecz, którą mógłbym to obalić.

Keyres · Post autor: **Keyres** » 1 lut 2015, o 15:36

\(\displaystyle{ U \cup W}\) w ogólnym przypadku nie jest przestrzenią wektorową.
Dla \(\displaystyle{ U \cap W}\) rozważ dwie rozłączne bazy danej podprzestrzeni \(\displaystyle{ U}\) oraz \(\displaystyle{ W = U}\)

Kamillo178 · Post autor: **Kamillo178** » 2 lut 2015, o 11:24

Niestety nie łapię, dlaczego \(\displaystyle{ U \cup W}\) nie jest w ogólnym przypadku przestrzenią wektorową, skoro to jest podprzestrzeń liniowa przestrzeni \(\displaystyle{ V}\)?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 2 lut 2015, o 11:26

Suma mnogościowa dwóch róznych prostych nie jest podprzestrzenią liniową płaszczyzny.

Kamillo178 · Post autor: **Kamillo178** » 2 lut 2015, o 20:52

Dziękuję Wam za pomoc!