Dowód z macierzami

[mortan517]

Niech \(\displaystyle{ A \in \RR^{2\times 2}}\). Uzasadnij, że jeżeli dla pewnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ A^n=0_{2\times 2}}\) to \(\displaystyle{ A^2=0_{2\times 2}}\).

Więc według mnie ta macierz musi się składać z samych zer i wtedy teza jest oczywista, ale jak dojść z założenia do tego, że \(\displaystyle{ A= \vec{0}}\)?

[szw1710]

Z twierdzenia Cauchy'ego natychmiast mamy, że \(\displaystyle{ \det A=0}\), więc \(\displaystyle{ A}\) ma liniowo zależne (czyli proporcjonalne) wiersze. Można zapisać

\(\displaystyle{ A=a\begin{bmatrix}1&0\\ \alpha&0\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}0&1\\ 0&\alpha\end{bmatrix}}\)

Spróbuj zastosować do \(\displaystyle{ A^n}\) coś w rodzaju wzoru dwumianowego Newtona. Policz potęgi i iloczyny tych konkretnych macierzy.

Tak bym się zabierał, być może jest prostsze rozwiązanie.

[Mariek]

\(\displaystyle{ A ^{n} =( P J P ^{-1} ) ^{n}=P J ^{n} P ^{-1} = 0 _{2\times2}}\)

Mnożąc przez \(\displaystyle{ P^{-1}}\) i \(\displaystyle{ P}\) dostajemy \(\displaystyle{ J^{n}= 0 _{2\times2}}\)

Dla macierzy Jordana o wartościach własnych \(\displaystyle{ \lambda _{1}}\) i \(\displaystyle{ \lambda _{2}}\) z twierdzenia Cauchy'ego dostajemy \(\displaystyle{ det(J)=0}\) czyli z liniowej zależności kolumn \(\displaystyle{ \lambda _{1}=0}\) i \(\displaystyle{ \lambda_{2}=0}\). Skoro \(\displaystyle{ J=0 _{2\times2}}\) to \(\displaystyle{ A=P J P^{-1} = 0 _{2\times2}}\) i tym bardziej \(\displaystyle{ A^{2} = 0 _{2\times2}}\)

No chyba, że gdzieś namieszałem ;x

Powodzenia we wtorek(ew. poniedziałek) ;p

[yorgin]

Skoro \(\displaystyle{ J=0 _{2\times2}}\) to \(\displaystyle{ A=P J P^{-1} = 0 _{2\times2}}\) i tym bardziej \(\displaystyle{ A^{2} = 0 _{2\times2}}\)

No chyba, że gdzieś namieszałem ;x

Trochę.

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 0 &1\\ 0 & 0\end{bmatrix}}\)

jest niezerową macierzą (w postaci Jordana), nilpotentną. Ale czy ten przykład coś zmienia?