Oblicz kąt między płaszczyzną

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
JURCZ91

Oblicz kąt między płaszczyzną

Post autor: JURCZ91 »

Witam

Mam takie zadanie i proszę tylko o weryfikację odpowiedzi.

Zad.

Obliczą kąt między płaszczyzną
\(\displaystyle{ x-y+z+11=0}\)
a płaszczyzną
\(\displaystyle{ (x,y,z)=(1, 5, 7)+s(1, 0, 1)+t(-3, 7, 2)}\); \(\displaystyle{ s, t\in \mathbb{R}}\)

Czy szukanym kątem jest \(\displaystyle{ \arccos= \frac{5}{\sqrt{3}\sqrt{123}}}\)?

Z góry dziękuje za pomoc.
Ostatnio zmieniony 30 sty 2015, o 08:47 przez Kacperdev, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Oblicz kąt między płaszczyzną

Post autor: SlotaWoj »

\(\displaystyle{ x-y+z+11=0}\) – równanie płaszczyzny w postaci ogólnej. Wiadomo, prosta sprawa.

Współczynniki przy zmiennych w równaniu płaszczyzny w postaci ogólnej definiują jakiś swobodny wektor do niej normalny (prostopadły) i odwrotnie: każdy niezerowy wektor definiuje rodzinę płaszczyzn do niego prostopadłych (czyli do siebie równoległych i o równaniach ogólnych różniących się o stałą).

Ale poniżej jest \(\displaystyle{ (x;y;z)=(1;5;7)+s(1;0;1)+t(-3;7;2); \ s,t\in\mathbb{R}}\) i tu zaczynają się schody.

\(\displaystyle{ (x,y,z)}\) powinno oznaczać „klasyczną” trojkę liczb, ale skoro autor postu takie trójki dodaje i mnoży przez skalar, wiec te trójki są współrzędnymi wektorów, więc zapis powinien wyglądać tak:
  • \(\displaystyle{ [x;y;z]=[1;5;7]+s[1;0;1]+t[-3;7;2]=[s-3t+1;7t+5;s+2t+7]; \ s,t\in\mathbb{R}}\)
To co mamy powyżej jest całą rodziną nierównoległych wektorów, więc odpowiada im całą rodzina nierównoległych płaszczyzn. W takich warunkach cosinus kąta pomiędzy pierwszą płaszczyzna a każdą z ww. rodziny płaszczyzn będzie zależał od stałych \(\displaystyle{ s}\) i \(\displaystyle{ t}\) i wynik, który autor postu chce zweryfikować, jest błędny lub coś on pokręcił w temacie zadania i weryfikacja nie jest możliwa.
Everard
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 166
Rejestracja: 11 lip 2007, o 22:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Pomógł: 49 razy

Oblicz kąt między płaszczyzną

Post autor: Everard »

Ummm... No chyba nie.

Płaszczyzna w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) jest zadana albo za pomocą jednego równania (jak w pierwszym przypadku), albo za pomocą "punkt plus powłoka liniowa dwóch wektorów" - jak w drugim przypadku, który można by zapisać jako
\(\displaystyle{ (x,y,z)\in (1,5,7)+lin((1,0,1),(-3,7,2)).}\)
Aby dostać wektor normalny, konstruujemy wektor normalny do \(\displaystyle{ (1,0,1),(-3,7,2)}\), zatem taki \(\displaystyle{ (a,b,c)}\), aby
\(\displaystyle{ a+c=0=-3a+7b+2c.}\)
Przykładowy taki wektor to
\(\displaystyle{ (-7,-5,7).}\)
(konstruujemy przez iloczyn wektorowy).
Wektor normalny do pierwszej płaszczyzny to \(\displaystyle{ (1,-1,1)}\), więc nasz kąt to
\(\displaystyle{ \alpha=arccos\frac{5}{\sqrt{3}\sqrt{123}},}\)
więc Twoje rozwiązanie jest poprawne.
Ostatnio zmieniony 30 sty 2015, o 10:54 przez Everard, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Oblicz kąt między płaszczyzną

Post autor: Kacperdev »

SlotaWoj, wszystko jest w porządku.

To drugie równanie, to porządne równanie parametryczne płaszczyzny. W końcu kombinacja liniowa dwóch wektorów niewspóliniowch z \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) tworzy nam płaszczyzne. Rolę stałej z postaci ogólnej pełni ten wektor stały.

Te dwa wektory są oczywiście do siebie nierównoległe zatem wystarczy iloczyn wektorowy by uzyskać wektor normalny do płaszczyzny, a dalej to już prościzna.
ODPOWIEDZ