Ślad macierzy - własność

Lukasz22311 · Post autor: **Lukasz22311** » 29 sty 2015, o 13:50

Witam , mam problem z następującym zadaniem - zapisem formalnym: (z książki Advanced Matrix Theory for Scientists and Engineers )
Pokazać, że jeśli: \(\displaystyle{ tr(AB)=0}\) dla wszystkich macierzy \(\displaystyle{ B}\), wtedy \(\displaystyle{ A=0.}\)
Rozwiązanie (próba):
Wiadomo, że:
\(\displaystyle{ tr(AB)=0}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{ji}=0}\)
i co dalej z tego wywnioskować?

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 30 sty 2015, o 13:34

Wskazówka: za \(\displaystyle{ B}\) przyjmij macierz zerową, która ma na przekątnej jedną jedynkę (gdzieś).

Lukasz22311 · Post autor: **Lukasz22311** » 31 sty 2015, o 19:26

Przyjmując za \(\displaystyle{ B}\) właśnie '"taką" macierz powyższa suma ograniczy się do wyrażenia:
\(\displaystyle{ a_{ij}*1=0}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ i,j}\) Stąd oczywiście wynika, że: \(\displaystyle{ a_{ij}=0}\)
Jest tylko pewne ale... rozwiązujemy to dla pewnej macierzy B przez co moim zdaniem tracimy na ogólność.

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 31 sty 2015, o 21:31

Nie tracimy ogólności. Skoro można wziąć każdą macierz \(\displaystyle{ B}\), to dlaczego akurat nie taką?