Czy zbiór jest podprzestrzenią?

[SuperM4n]

Witam,
Mam problem z takim zadaniem.
"Sprawdzić, czy \(\displaystyle{ S=\left\{ (x,y,z) \in R^{3}:(3x-y+z,x+y+z)=(1,2) \right\}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{3}}\).

Jednym z warunków istnienia podprzestrzeni jest zawartość zbioru, tj. S nie może być puste, czyli musi istnieć \(\displaystyle{ 3x-y+z = 1}\) i \(\displaystyle{ x+y+z=2}\). Niestety, mi nie udało się takich znaleźć i tu pojawia się mój problem. Przede wszystkim: czy rzeczywiście żadnego nie ma? I jeżeli nie ma, to pewnie trzeba w jakiś sposób to wykazać - w jaki?

[Kacperdev]

A co powiesz o wektorze zerowym?

[SuperM4n]

Wektor \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) również nie należy do \(\displaystyle{ S}\), bo \(\displaystyle{ (3 \cdot 0 - 0 +0, 0 + 0 + 0) \neq (1,2)}\).

[Kacperdev]

A własnie... istnieje twierdzenie które mówi, że wektor zerowy należy do każdej przestrzeni (podprzestrzeni). Tu nie należy, więc zbiór nie może być przestrzenią liniową.

[SuperM4n]

Dziękuję bardzo za pomoc. Mógłbym jeszcze prosić o źródło bądź nazwę tego twierdzenia? Niestety, w swoje książce go nie znalazłem, a chciałbym nieco więcej o nim poczytać.

[Kacperdev]

ale to bardzo prosta własność

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią oraz \(\displaystyle{ W \subset V}\) tzn., że dla każdego wektora \(\displaystyle{ x,y\in W \ \ x+y \in W}\) oraz \(\displaystyle{ ax \in W}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) należy do ciała pod którą jest dana przestrzen. Zatem:

Jeżeli \(\displaystyle{ x \in W}\) to oczywiście \(\displaystyle{ (-1)x = -x \in W}\) dalej \(\displaystyle{ 0=x+ (-x) \in W}\)