przestrzeń liniowa

[sportowiec1993]

Mam do rozwiązania następujące zadanie:
sprawdzić czy zbiór \(\displaystyle{ \mathfrak{R}^{2}}\) z następującymi działaniami:
\(\displaystyle{ (x_{1}, y_{1})+(x _{2}, y_{2})=( x_{1} x_{2}, y_{1}y, _{2})}\) oraz
\(\displaystyle{ c(x_{1}, y_{1})=(cx_{1}, cy_{1})}\) jest przestrzenią wektorową (nazwijmy ją V).
Sprawdzam warunki i mam kilka wątpliwości.
Pierwsza dotyczy wektora zerowego.
W przestrzeni V musi istnieć wektor zerowy, taki że: \(\displaystyle{ x+0=x}\).
W rozważanym przypadku
\(\displaystyle{ (x_{1}, y_{1})+(0, 0)=( x_{1} \cdot 0, y_{1} \cdot 0)=(0,0)}\), ale
\(\displaystyle{ (x_{1}, y_{1})+(1, 1)=( x_{1} , y_{1})}\).
Wobec tego, czy wektor \(\displaystyle{ (1,1)}\) można traktować jako
wektor zerowy??

Druga dotyczy wektora przeciwnego
tutaj warunek \(\displaystyle{ x +(-x) =0}\) jest, jak widać wyżej spełnione
jedynie gdy \(\displaystyle{ (x _{n}, y_{n})=(0.0)}\), ale
\(\displaystyle{ (x_{1}, y_{1})+(-x _{1}, -y_{1})=(- x_{1}^{2}, -y_{1}^{2})}\)
Zatem pomijając kwestię bycia przestrzenią, proszę o wyjaśnienie
ww. wątpliwości

[Medea 2]

Myli Ci się zero z jedynką chyba. Wektorem zerowym jest \(\displaystyle{ (1, 1)}\), bo "dodanie" go nie zmienia żadnego wektora. Jednak wektor \(\displaystyle{ (0, 0)}\) nie ma przeciwnego, bo dodanie dowolnego wektora nie zmienia jego wartości, tzn. \(\displaystyle{ (0,0) + v =(0,0)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ v \in \mathfrak K^2}\). Wniosek - to nie jest p. liniowa.