Podprzestrzeń liniowa

[nowik1991]

Witam

Za zadanie mam sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \left\{ \left( x,y,z,t\right) \in R^{4} : -x+y=2z-5t \right\}}\)

Zadanie rozpocząłem od porządkowania:

\(\displaystyle{ \left\{ \left( x,y,z,t\right) \in R^{4} : -x+y-2z+5t=0 \right\}}\)

Weźmy \(\displaystyle{ a,b}\) które należą do tej przestrzeni czyli mamy:

\(\displaystyle{ a=\left( -x_{a}+y_{a}-2z_{a} + 5t_{a}\right)}\)
\(\displaystyle{ b=\left( -x_{b}+y_{b}-2z_{b} + 5t_{b}\right)}\)

\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\)

\(\displaystyle{ a+b = \left\{ -x_{a}+y_{a}-2z_{a} + 5t_{a}, -x_{b}+y_{b}-2z_{b} + 5t_{b}\right\} = \left( -x_{a}+y_{a}-2z_{a} + 5t_{a}\right)+\left( -x_{b}+y_{b}-2z_{b} + 5t_{b}\right) = 0}\)

\(\displaystyle{ a+b \in R^{4}}\)
więc jest OK.

\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\)

Ustalmy sobie \(\displaystyle{ k}\) należące do zbioru

\(\displaystyle{ k \cdot a=\left( k( -x_{a}+y_{a}-2z_{a} + 5t_{a})\right) = -kx_{a}+ky_{a}-k2z_{a} + k5t_{a} = k( -x_{a}+y_{a}-2z_{a} + 5t_{a}) = k \cdot 0 = 0}\)

\(\displaystyle{ k \cdot a \in R^{4}}\)

Zatem jest to podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ R^{4}}\)
Bardzo proszę o sprawdzenie .

[bartek118]

Nie. Kompletnie bez sensu i zrozumienia. Bierzesz dwa elementy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) z tego zbioru, jak one wyglądają?

[nowik1991]

W sumie racja bo wtedy wszystko i zawsze by się chyba zgadzało..


W takim razie:

\(\displaystyle{ a=[ -x_{a}+y_{a}=2z_{a}-5t_{a} ]}\)
\(\displaystyle{ b=[ -x_{b}+y_{b}=2z_{b}-5t_{b} ]}\)

Dobrze myślę?

[bartek118]

Nie. Czym są elementy zbioru \(\displaystyle{ \left\{ \left( x,y,z,t\right) \in \RR^{4} : -x+y=2z-5t \right\}}\)?

[nowik1991]

No liczbami rzeczywistymi

[bartek118]

Nie; wektorami \(\displaystyle{ (x,y,z,t)}\)

[nowik1991]

Czyli jako

\(\displaystyle{ a=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}\)
\(\displaystyle{ b=(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})}\)

Dobrze myślę?

@Edit

Wtedy mogę zapisać to jako:

\(\displaystyle{ -x_{1}+x_{2}=2x_{3}+5x_{4}}\)

\(\displaystyle{ -y_{1}+y_{2}=2y_{3}+5y_{4}}\)

[bartek118]

Tak, teraz lepiej.
Policz teraz sumę i sprawdź, czy dla sumy zachodzi podobna własność.

[nowik1991]

\(\displaystyle{ -(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})= 2(x_{3}+y_{3})+5(x_{4}+y_{4})}\)

Czyli coś takiego tak?

[bartek118]

Zgadza się

[nowik1991]

I tak to należy pozostawić? Czy jakoś trzeba to przekształcać?

[bartek118]

To co zapisałeś już oznacza, że \(\displaystyle{ a+b}\) należy do tego zbioru.
Teraz mnożenie przez skalar.