rozłóż wektor na składowe

[leszczu450]

Cześć !

Wektor \(\displaystyle{ a= [1,0,2]}\) rozłożyć na składową prostopadłą i równoległą do płaszczyzny \(\displaystyle{ x+y+z+1=0}\).

Jak się za to zabrać?

Z góry dzięki za pomoc.

[Naed Nitram]

\(\displaystyle{ v=(1,1,1)}\) jest wektorem normalnym tej płaszczyzny.
Rzut \(\displaystyle{ a=(1,0,2)}\) na prostą \(\displaystyle{ \{tv:t\in\mathbb R\}}\) to \(\displaystyle{ u=\frac{\langle v, a\rangle}{|v|^2}v=\frac{3}{3}(1,1,1)=\left(1,1,1\right)}\). Składowa równoległa to płaszczyzny natomiast to \(\displaystyle{ a-u=\left(0,-1,1\right)}\).

\(\displaystyle{ a=(1,1,1)+(0,-1,1)}\)