Sprawdź czy... funkcje linowe

[Bodek]

Sprawdź, że podane funkcje są liniowe oraz wyznacz macierze funkcji liniowych:
a)\(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=x \in Lin(\RR ^{4},\RR)}\)
b)\(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=(x,y,z) \in Lin(\RR ^{4},\RR ^{3} )}\)
c)\(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=(x+y+z+t) \in Lin(\RR ^{4},\RR)}\)
d)\(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=(2x+3y+z,4y+z-t) \in Lin(\RR ^{4},\RR ^{2} )}\)

a)\(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=x \in Lin(\RR ^{4},\RR)}\)
dowolne \(\displaystyle{ v _{1},v _{2} \in V}\)
\(\displaystyle{ v _{1}=[x _{1},y _{1},z _{1},t _{1} ] v_{2}=[x _{2},y _{2},z _{2},t _{2}]}\)
\(\displaystyle{ f(v_{1}+v_{2})=f(x _{1}+x _{2},y _{1}+y _{2},z _{1}+z _{2},t _{1}+t _{2})=(x _{1}+x _{2})=x _{1}+x _{1}=f(x _{1},y _{1},z _{1},t _{1})+f(x _{2},y _{2},z _{2},t _{2})=f(v_{1})+f(v_{2})}\)
dowolne \(\displaystyle{ \alpha \in K}\) dowolne \(\displaystyle{ v \in V}\)
\(\displaystyle{ f( \alpha v)=f( \alpha x, \alpha y, \alpha z, \alpha t)= \alpha x= \alpha f(x,y,z,t)= \alpha f(v)}\)

c)\(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=(x+y+z+t) \in Lin(\RR ^{4},\RR)}\)
dowolne \(\displaystyle{ v _{1},v _{2} \in V}\)
\(\displaystyle{ v _{1}=[x _{1},y _{1},z _{1},t _{1} ]}\)
\(\displaystyle{ v_{2}=[x _{2},y _{2},z _{2},t _{2}]}\)
\(\displaystyle{ f(v_{1}+v_{2})=f(x _{1}+x _{2},y _{1}+y _{2},z _{1}+z _{2},t _{1}+t _{2})=(x _{1}+x _{2}+y _{1}+y _{2}+z _{1}+z _{2}+t _{1}+t _{2})=(x_{1}+y_{1}+z_{1}+t_{1})+(x _{2}+y _{2} +z _{2} +t _{2} ) =f(x _{1},y _{1},z _{1},t _{1})+f(x _{2},y _{2},z _{2},t _{2})=f(v_{1})+f(v_{2})}\)
dowolne \(\displaystyle{ \alpha \in K}\) dowolne \(\displaystyle{ v \in V}\)
\(\displaystyle{ f( \alpha v)=f( \alpha x, \alpha y, \alpha z, \alpha t)= (\alpha x+ \alpha y+ \alpha z+ \alpha t)= \alpha (x+y+z+t)= \alpha f(x,y,z,t)= \alpha f(v)}\)

Macierze funkcji liniowych
b)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]=(x,y,z)}\)
c) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\\t\end{array}\right]=(x+y+z+t)}\)
d)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&3&1&0\\0&4&1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\\t\end{array}\right]=(2x+3y+z,4y+z-1)}\)
Czy zadania są dobrze zrobione?

[Medea 2]

W b) macierz ma złe wymiary, powinna mieć jeszcze rząd zer na dole.

[Bodek]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\\t\end{array}\right]=(x,y,z)}\)

przykład "a" będzie wyglądał tak?
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\\t\end{array}\right]=x}\)

[Medea 2]

Mea culpa, nie na dole, tylko po prawej (czyli jak stransponujesz macierz b), to będzie ok).
W a) źle, powinna być macierz o jednym wierszu.

[Bodek]

aaa faktycznie
dzięki