Zbadaj w zależności od parametru wymiar obrazu endomorfizmu

[mortan517]

\(\displaystyle{ f(x,y,z)=\left( -2x+(-1-a)y+z, ax-az, -x + (a+a^2)y +z\right)}\)

Wystarczy zbadać rząd takiej macierzy w zależności od parametru?

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&-1-a&1\\a&0&-a\\-1&a+a^2&1\end{bmatrix}}\)

[yorgin]

Tak.

Wymiar obrazu to rząd odwzorowania liniowego.

[mortan517]

Czy jest to również to samo co zbadanie takiej macierzy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&a&-1\\-1-a&0&a+a^2\\1&-a&1\end{bmatrix}}\)

a następnie zastosowanie zależności?

\(\displaystyle{ dim \ V = dim \ Im + dim \ Ker \\ dim \ Im=3-dim \ Ker}\)

[yorgin]

Czy jest to również to samo co zbadanie takiej macierzy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&a&-1\\-1-a&0&a+a^2\\1&-a&1\end{bmatrix}}\)

Tak. W kontekście zadania jest to obojętne, gdyż rząd macierzy nie zmienia się po transpozycji macierzy.

a następnie zastosowanie zależności?

\(\displaystyle{ dim \ V = dim \ Im + dim \ Ker \\ dim \ Im=3-dim \ Ker}\)

Dużo wzorków, ale wzorków przydatnych, tj takich, które oczywiście możesz wykorzystać.

[mortan517]

Wszystko jasne, dzięki za pomoc.