Zbadać rozwiązywalność układu ze względu na parametry.

[blade]

\(\displaystyle{ \begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = l^2 \\ x + y + kz = kl \end{cases} \\
\left| \begin{array}{ccc}k&1&1\\1&k&1\\1&1&k\end{array}\right| = k^3 +1 +1 -k -k -k = k^3 - 3k + 2 \\
k^3 - 3k + 2 = 0 \\
k^3 - k -2k +2 = 0 \\
k(k^2 -1) -2(k+1) = 0 \\
k(k-1)(k+1) -2(k+1)=0 \\
(k-1)(k^2 +k -2) = 0 \\
(k-1)(k+2)(k-1) \\
k=1 \vee k=-2 \vee k=1}\)
Dla tych wartości \(\displaystyle{ k}\) wyznacznik wynosi \(\displaystyle{ 0}\) - wtedy albo układ nie ma rozwiązań, albo ma ich nieskończenie wiele.
Co mam zrobić dla tych wartości \(\displaystyle{ k}\)? macierz schodkowa czy co?
Co zrobić dla \(\displaystyle{ k\in \mathbb R \setminus \{-2,1\}}\)?
Z góry dzięki za odpowiedź.

[kerajs]

Co mam zrobić dla tych wartości \(\displaystyle{ k}\)? macierz schodkowa czy co?.

1' Wstaw k=1 i określ rząd macuierzy dołączonej.
2' To samo zrób dla k=-2

Co zrobić dla \(\displaystyle{ k\in \mathbb R \setminus \{-2,1\}}\)?

NIc. nie masz rozwiązywać układu , ale określić jego rozwiązywalność. Dla tych parametrów k układ ma dokładnie 1 rozwiązanie

[blade]

\(\displaystyle{ 1^0 k=1}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1\\l^2\\kl \end{array}\right] \sim \left[ \begin{array}{ccc}1&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1\\l^2-1\\kl-1 \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ l=1 \wedge k=1}\) - wykreślam te dwa wiersze i mam rząd \(\displaystyle{ = 1}\)
\(\displaystyle{ l=-1 \wedge k=-1}\) - to samo
\(\displaystyle{ l\in \mathbb R \setminus \{1,-1\} \vee k\in \mathbb R}\) - układ sprzeczny
Tak ?

[Dilectus]

\(\displaystyle{ k^3-3k+2=\left( K+2\right)\left( x-1\right)^2=0}\)

\(\displaystyle{ k _{1} =-2, \ k _{2}=1}\)

Dla tych \(\displaystyle{ k}\) zeruje się wyznacznik główny \(\displaystyle{ W}\) układu równań.

Warunki rozwiązania układu są takie:

1. \(\displaystyle{ W \neq 0 \Rightarrow x_1 = \frac{W_1}{W}, \hspace{3} x_2 = \frac{W_2}{W}, \hspace{3} x_3 = \frac{W_3}{W}, \hspace{3} \ldots, x_n = \frac{W_n}{W}}\)

2. \(\displaystyle{ W= 0 \wedge \ \text{nie każdy} W_i = 0, \hspace{5} i = 1,2,3,\ldots, n \Rightarrow}\) układ jest sprzeczny


3. \(\displaystyle{ W= 0 \wedge W_1=0, W_2=0, W_3=0, \ldots, W_n = 0 \Rightarrow}\) Układ jest nieoznaczony \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań.

[kerajs]

\(\displaystyle{ 1^0 k=1}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1\\l^2\\kl \end{array}\right] \sim \left[ \begin{array}{ccc}1&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1\\l^2-1\\kl-1 \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ l=1 \wedge k=1}\) - wykreślam te dwa wiersze i mam rząd \(\displaystyle{ = 1}\)
\(\displaystyle{ l=-1 \wedge k=-1}\) - to samo
\(\displaystyle{ l\in \mathbb R \setminus \{1,-1\} \vee k\in \mathbb R}\) - układ sprzeczny
Tak ?

A dlaczego w dołączonej nie wstawiłeś k=1?
Dla l=1 masz układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiazań zależnych od dwóch parametrów)
Dla l=-1 masz ........ . To, proszę, sprawdź jeszcze raz.
a dla innych l układ jest sprzeczny

Teraz \(\displaystyle{ k=-2}\):

[blade]

A dlaczego w dołączonej nie wstawiłeś k=1?

Zapędziłem się.

dla \(\displaystyle{ l=-1}\) teraz oczywiście sprzeczny.
Zatem układ jest sprzeczny dla \(\displaystyle{ l \in \mathbb R \setminus \{1\}}\)
i nieoznaczony dla \(\displaystyle{ l=1}\)

\(\displaystyle{ 2^0 k=-2 :}\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1\\l^2\\-2l \end{array}\right] \sim}\)
zamienię sobie kolumny \(\displaystyle{ 1 i 2}\)
\(\displaystyle{ \sim \left[ \begin{array}{ccc}1&-2&1\\-2&1&1\\1&1&-2\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1\\l^2\\-2l \end{array}\right] \sim \left[ \begin{array}{ccc}1&-2&1\\0&-3&3\\0&3&-3\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1\\l^2+2\\-2l -1 \end{array}\right] \sim \left[ \begin{array}{ccc}1&-2&1\\0&-3&3\\0&0&0\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1\\l^2+2\\l^2-2l +1 \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ l^2 -2l +1 = 0 \Rightarrow l=1 \Rightarrow}\) układ nieoznaczony
\(\displaystyle{ l \in \mathbb R\setminus \{1\}}\) układ sprzeczny.


Podsumowując :
Układ ma :
1) 1 rozwiązanie dla \(\displaystyle{ k \in \mathbb R \setminus \{1,-2\}}\)
2) nieskończenie wiele rozwiązań dla \(\displaystyle{ k = 1 \wedge l=1 \vee k=-2 \wedge l=1}\)
3)Jest sprzeczny dla \(\displaystyle{ k=1 \wedge l \in \mathbb R \setminus \{1\} \vee k=-2 \wedge l \in \mathbb R\setminus \{1\}}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ 2^0 k=-2 :}\)
Proponuję rozwiązanie alternatywne
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1\\l^2\\-2l \end{array}\right] \sim}\)
do wiersza 1 dodaję wiersz drugi i trzeci
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc}0&0&0\\1&-2&1\\1&1&-2\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1+l^2-2l\\l^2\\-2l \end{array}\right]}\)
co daje mi takie same rozwiazania jak Twoje.
Ostateczna konkluzja poprawna. Ja dopisalbym nawiasy aby prawidłowo odczytać zdanie logiczne z koniunkcjami i alternatywami.

Ps. Ponieważ to układ równań, to dobrze by było działać wyłącznie na wierszach. Oczywiście dla liczenia rzedu nie ma to znaczenia, jednak przekształcenia elementarne na wierszach sprawiają że każdy układ otrzymany w wyniku tych przekształceń jest równoważny ukladowi pierwotnemu. Np licząc rząd wygodniej jest potem rozwiazać ten układ równań z przekształconej macierzy trójkątnej/ traperzowej / schodkowej niż z układu wyjściowego.