Czy zbiór punktów \(\displaystyle{ A=\left\{ (x _{1} , x _{2} , x _{3} ): x _{1} , x _{2} , x _{3} \in \mathbb{R}\right\}}\) wraz z przestrzenią liniową \(\displaystyle{ V=\left\{ [y _{1} , y _{2} , y _{3} ]: y _{1} , y _{2} , y _{3} \in \mathbb{R}\right\}}\) oraz działaniem \(\displaystyle{ A \times V \rightarrow A}\) zdefiniowanym w sposób: \(\displaystyle{ (x _{1},x _{2},x _{3})+[y _{1},y _{2},y _{3}]=(x _{1}+y _{1} ,x _{2}+y _{2} ,x _{3}+y _{3} )}\) tworzy przestrzeń afiniczną? Sprawdziłem, że aksjomat pierwszy i drugi, które są podane w definicji w tym artykule: są spełnione. Ale nie wiem jak wykazać, że zachodzi 3 aksjomat. Jedyne do czego dochodzę to to, że \(\displaystyle{ (a _{1},a _{2},a _{3})=(a _{1},a _{2},a _{3})+[y _{1} , y _{2} , y _{3} ]+[-x _{1} , -x _{2} , -x _{3} ]}\) i tyle.
W sumie to oznacza, że \(\displaystyle{ (a _{1},a _{2},a _{3})=(a _{1}+y _{1}-x _{1},a _{2}+y _{2}-x _{2},a _{3}+y _{3}-x _{3})}\) A z tego dostaję układ równań, z którego wynika, że \(\displaystyle{ x_{1}=y_{1}, x_{2}=y_{2}, x_{3}=y_{3}}\)
W takim razie mam inne pytanie: w przypadku przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ K^{n}}\) muszę sobie zdefiniować równość pomiędzy wektorami \(\displaystyle{ [x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}]}\) i \(\displaystyle{ [y_{1}, y_{2}, ...,y_{n}]}\) jako równość współrzędnych:
\(\displaystyle{ x_{1}=y_{1}\\ x_{1}=y_{1}\\.\\.\\.\\x_{n}=y_{n}}\)
prawda? Chodzi mi to, że nie wiadomo co jest równością wektorów w takiej przestrzeni, dopóki sobie tego nie zdefiniuję, tak? I analogicznie w przypadku punktów \(\displaystyle{ (a_{1}, a_{2},...,a_{n}), (b_{1}, b_{2},..., b_{n})}\)?