Jądro i obraz odwzorowania

[mdcbnmw2000]

Mamy odwzorowanie \(\displaystyle{ R^{4} \rightarrow R^{3} :
(x,y,z,t) \rightarrow (x+2z+t,-2x+y-3z-5t,x-y+z+4t)}\)

Jest to odwzorowanie liniowe.

Jak wyznaczyć \(\displaystyle{ \ker F}\) i \(\displaystyle{ \text{im} F}\) tego odwzorowania oraz ich bazy?

[leg14]

Jadro to po prostu te wektory, ktore przechodza na wektor zerowy, czyli przyrownujesz kazda wspolrzedna z \(\displaystyle{ (x+2z+t,-2x+y-3z-5t,x-y+z+4t)}\) do zera i rozwiazujesz. Jezeli jakies wektory rozpinaja dana przestrzen, to ich obrazy w jakims przeksztalceniu liniowym rozpinaja obraz tego przeksztalcenia-tak uzyskujesz imf.

[mdcbnmw2000]

Jadro to po prostu te wektory, ktore przechodza na wektor zerowy, czyli przyrownujesz kazda wspolrzedna z \(\displaystyle{ (x+2z+t,-2x+y-3z-5t,x-y+z+4t)}\) do zera i rozwiazujesz. Jezeli jakies wektory rozpinaja dana przestrzen, to ich obrazy w jakims przeksztalceniu liniowym rozpinaja obraz tego przeksztalcenia-tak uzyskujesz imf.

Ok dzięki za odpowiedz.

Czyli z tych równań otrzymuję : x = -t -2z ; y = 3t - z ; więc baza to będzie (-1,3,0,1) i (-2,-1,1,0) , tak?

Czy mógłbyś troszkę rozwinąć część o ImF?

[leg14]

Czyli z tych równań otrzymuję : x = -t -2z ; y = 3t - z ; więc baza to będzie (-1,3,0,1) i (-2,-1,1,0) , tak?

tak
jezeli masz \(\displaystyle{ F:V \rightarrow W}\) i F jest liniowe to,jezeli :

baza \(\displaystyle{ V= \alpha _{1},...,\alpha _{n} \Rightarrow ImF=lin\left(F( \alpha _{1}),...,F( \alpha _{n})\right)}\)