Uklad rownan z parametrem-macierze

dudi999 · Post autor: **dudi999** » 8 cze 2007, o 14:01

Witam
Czy ktos moze mi wytlumaczyc jak rozwiazac taki uklad. Nie wiem jak obliczyc wyznacznik (to chyba sie nazywa rozszerzony;)) czyli z tym co jest po znakach = . Poniewaz nie wychodzi macierz kwadratowa. Trzeba w tym zadaniu zbadac liczbe roz w zaleznosci od paramteru k

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y+3z=7\\3x+2y-5z=4\\4x+5y-13z=k\end{cases}}\)

Z gory wielkie dzieki.

liu · Post autor: **liu** » 8 cze 2007, o 14:43

Hmm, przeciez we wzorach Cramera sa wyznaczniki ktore powstaly po zamianie ktorejs z kolumn wspolczynnikow na kolumne wyrazow wolnych, wiec w czym problem?

doniczek · Post autor: **doniczek** » 8 cze 2007, o 14:50

@liu: z Cramera bym nie ryzykował tym bardziej ze treba sprawdzic ilosc rozwiazan w zaleznosci od k

@dudi999: a twierdzenie Kronekera - Capellego znasz ? ... -Capellego
(macierz rrozszerzona to macierz powstała z polaczenia macierzy wspolczynnikow przy nie wiadomych i macierzy wyrazow wolnych)

A zresztą co mi tam przypomne sobie i TeX pocwicze ;]
No wiec tak:
\(\displaystyle{ r(A) = ft[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\3&2&-5\\4&5&-13\end{array}\right] = 2 bo det(A) = 0}\)
warto zauwazyc ze w3 = 2*w2 - w1
\(\displaystyle{ det(A,B) = det ft|\begin{array}{cccc}2&-1&3&7\\3&2&-5&4\\4&5&-13&k\end{array}\right| = -k -1}\)
zatem dla dla \(\displaystyle{ k -1 r(A) < r(A,B) }\) układ nie rozwiazywalny
dla \(\displaystyle{ k = -1 r(A) = r(A,B) = 2 < 3 }\) rozwiazan nieskonczenie wiele zaleznych od jednego parametru

dudi999 · Post autor: **dudi999** » 8 cze 2007, o 15:22

Ja policzylem tak: ( nie wiem czy dobrze ale wyszlo mi podobnie )

Obliczylem wyznacznik glowny ktory wyszedl 0 wiec uklad nie moze byc oznaczony.
Pozniej policzylem Dx, Dy, Dz . Tylko ze mi wyszlo ze jak k=1 to uklad jest nieoznaczony a jak jest rozne od 1 to jest uklad sprzeczny.

doniczek · Post autor: **doniczek** » 8 cze 2007, o 15:35

mniejsza o obliczenia, chodzilo o metode. Moze sie gdzies machnalem
W kazdym badź razie tego typu ukłądy rozwiązuje sie korzystajac z ww. twierdzenia

dudi999 · Post autor: **dudi999** » 8 cze 2007, o 18:08

A tak jak ja zrobilem nie mozna??

doniczek · Post autor: **doniczek** » 8 cze 2007, o 22:12

hmmm... w tym przypadku tak. rzecz w tym ze jak sie parametr pojawi już przy liczeniu wyznacznika głownego to bedzie duzo obliczeń do pokonania. Zresztą może się również okazać że wyznaczik się zeruje a układ jest oznaczony, bo np. masz 5 równań , 4 nie wiadome i jedno z równań jest kombinacją liniową pozostałych

liu · Post autor: **liu** » 18 cze 2007, o 15:00

Ale to jest uklad n x n. Wtedy twierdzenie Cramera zalatwia wszystkie mozliwe przypadki.

Dargi · Post autor: **Dargi** » 18 cze 2007, o 16:13

liu, ma racje należy zrobić tak:
\(\displaystyle{ W=\left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\3&2&-5\\4&5&-13\end{array}\right]=-52+45+20-24+50-39=0}\)
\(\displaystyle{ W_x=\left[\begin{array}{ccc}7&-1&3\\4&2&-5\\k&5&-13\end{array}\right]=-182+60+5k-6k-52+175=1-k}\)
\(\displaystyle{ W_y=\left[\begin{array}{ccc}2&7&3\\3&4&-5\\4&k&-13\end{array}\right]=-104+9k-140-48+10k+273=19k-19=19(k-1)}\)
\(\displaystyle{ W_z=\left[\begin{array}{ccc}2&-1&7\\3&2&4\\4&5&k\end{array}\right]=4k+105-16-56-40+3k=7k-7=7(k-1)}\)
I Dla \(\displaystyle{ k=0}\)
Układ równań jest nieoznaczony i ma nieskończenie wiele rozwiązań.
II Dla \(\displaystyle{ k\epsilon R-{\ 0\ }}\)
Układ równań jest sprzeczny. Brak rozwiązań.

liu · Post autor: **liu** » 19 cze 2007, o 18:37

Jeszcze sie troche poczepiam. Przy standardowej konstrukcji liczb naturalnych \(\displaystyle{ \mathbb{R}-0=\mathbb{R}}\)

Chyba chciales napisac \(\displaystyle{ \mathbb{R}-\{0\}}\).

A, i gdzies tam wyzej bylo napisane, ze rzad macierzy rowna sie macierzy, to dosc odwazne stwierdzenie;)

Dargi · Post autor: **Dargi** » 19 cze 2007, o 21:12

liu, owszem chciałem tylko jak napisałem ten nawias to mi go nie wczytało