Pokaż, że... Podprzestrzenie liniowe

[Bodek]

1) Pokaż, że zbiór \(\displaystyle{ \left\{ (x,y,z):x+y+2z=0\right\}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\)
2) Czy zbiór \(\displaystyle{ \left\{ (x,y,z):x+y+2z=1\right\}}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\)
3) Pokaż, że zbiór \(\displaystyle{ \left\{ (x,y,z,t) \in \RR ^{4} :x+2y=0, z-t=0\right\}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^{4}}\)
1
\(\displaystyle{ V=\left\{ (x,y,z):x+y+2z=0\right\}}\)=\(\displaystyle{ \left\{ (x,-x-2z,z):x,z \in \RR\right\}}\)
Dwolone \(\displaystyle{ v _{1}, v _{2} \in V}\)
\(\displaystyle{ v _{1} =[x _{1},y _{1},z _{1},]=[x _{1},-x _{1}-2z _{1},z _{1}]}\)
\(\displaystyle{ v _{2}=[x _{2}, y _{2}, z _{2}]=[x _{2}, -x _{2}-2z _{2}, z _{2}]}\)
\(\displaystyle{ v _{1}+v _{2}=[x _{1},-x _{1}-2z _{1},z _{1}]+[x _{2}, -x _{2}-2z _{2}, z _{2}]=[x _{1}+x _{2}, -x _{1}-2z _{1}-x _{2}-2z _{2}, z _{1}+z _{2}]=[x _{1}+x _{2}, -(x _{1}+x _{2})-2(z _{1}+z _{2}), z _{1}+z _{2}] \in V}\)
Dowolne \(\displaystyle{ \alpha \in \RR}\), dowolne \(\displaystyle{ v \in V}\)
\(\displaystyle{ \alpha \cdot v= \alpha \cdot [x,-x-2z,z]=[ \alpha \cdot x,\alpha \cdot (-x-2z),\alpha \cdot z] \in V}\)
dobrze?

[musialmi]

Prawie że. Uważam, że to:

\(\displaystyle{ \alpha \cdot v= \alpha \cdot [x,-x-2z,z]=[ \alpha \cdot x,\alpha \cdot (-x-2z),\alpha \cdot z] \in V}\)

Powinieneś zapisać w sposób taki, żeby było widać, że jest to w postaci \(\displaystyle{ [x,-x-2z,z]}\). Bo tutaj tego (powiedzmy...) nie widać.

Pozostałe dwa zadania polegają na tym samym. Jakbyś miał problemy, to pisz.

[Bodek]

to jak to zapisać żeby było czytelniej?

[musialmi]

Podstaw sobie \(\displaystyle{ x_0=\alpha x, \ z_0=\alpha z}\), powinieneś wtedy zorientować się o co mi chodzi

[Bodek]

nic nie pomoglo
mam jeszcze pytanie. czy to wyrażenie \(\displaystyle{ [x _{1}+x _{2}, -(x _{1}+x _{2})-2(z _{1}+z _{2}), z _{1}+z _{2}]=}\) mogę zapisać na koniec \(\displaystyle{ =[x _{3}, -x _{3} -2z _{3}, z _{3}]}\)?

[musialmi]

Tak, możesz.
Oto o co mi chodziło:
\(\displaystyle{ [ \alpha \cdot x,\alpha \cdot (-x-2z),\alpha \cdot z]=[\alpha \cdot x,-\alpha x - 2 \alpha z,\alpha \cdot z]}\). Jak napisałem, podstawiamy \(\displaystyle{ x_0=\alpha x, \ z_0=\alpha z}\), zatem:
\(\displaystyle{ [\alpha \cdot x,-\alpha x - 2 \alpha z,\alpha \cdot z]=[x_0, -x_0-2z_0, z_0]}\).
Teraz widać, że jest to w postaci zadanej przez podprzestrzeń Rozumiesz o co chodzi?

[Bodek]

taak rozumiem, dzięki