Dobierz parametr tak aby wektory były liniowo zależne

[kondzixd]

Witam.

Przeglądam sobie zadania egzaminacyjne z Algebry i trafiłem na coś niezrozumiałego.

Zad. Dobierz parametr p tak aby wektory :
\(\displaystyle{ v_{1} = x^{3} - x}\)
\(\displaystyle{ v_{2} = px^{3} + x^{2} + 2}\)
\(\displaystyle{ v_{3} = -x^{3} + 2x^{2} + x + 3}\)
\(\displaystyle{ v_{4} = 2x^{3} + x^{2} - x + 3}\)
Były liniowo zależne w przestrzeni \(\displaystyle{ R_{3}[x]}\)

Aby wektory były liniowo zależne ich wyznacznik musi być równy 0. Układamy więc macierz 4x4:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}x^{3}&0&x&0\\px^{3}&x^{2}&0&2\\-x^{3}&2x^{2}&x&3\\2x^{3}&x^{2}&-x&3\end{array}\right]}\)

I teraz jak policzyć jej wyznacznik?
I gdy go policzymy jak znaleźć ten parametr aby wyznacznik równy był 0?

[Naed Nitram]

Z wyznacznikiem jest ok, ale prościej zauważyć, że
\(\displaystyle{ \frac 13(v_3+v_4)=\frac 13 x^3+x^2+2}\)