Podprzestrzeń, Baza, Współrzedne, rzut ortogonalny

[lukiz1]

Cześć. Związku, ze mamy mały problem z zadaniem (bo 80% oblało koło) potrzebowaliśmy by pomocy rozwiązania zadania żeby przeanalizować. Wiec mile widziane, komentarze do rozwiązania.
Teraz postaram się poprawnie założyć posta. W takiej formie, zapisu dostaliśmy zadanie.

Mam nadzieje, że pomożecie kolegą, bo dla wasz to pestka pewnie :]



1.
a)
Sprawdź, że
\(\displaystyle{ U={f: f(0)=0, f(1)-f'(1)=0}}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni wielomianów stopnia 2.
b) Znaleźć jej bazę i wymiar.
c) Wyznaczyć rzut ortogonalny \(\displaystyle{ f(x)=x}\) na tą podprzestrzeń, gdy w przestrzeni wielomianów iloczyn skalarny wyprowadzony jest wzorem \(\displaystyle{ f \circ g = f(-1)g(-1)+f(0)g(0)+f(1)g(1)}\)



2.

a) Sprawdź, że \(\displaystyle{ {f: f(0)=0, 2f(1)-f'(1)=0}}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni wielomianów stopnia 2.
b) Znaleźć jej bazę i wymiar.
c) Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ f(x)=x}\) na tę podprzestrzeń, gdy w przestrzeni wielomianów iloczyn skalarny wprowadzony jest wzorem:

\(\displaystyle{ f \circ g = f(-1)g(-1) + f(0)g(0)+f(1)g(1)}\)





Pozdrawiam-- 22 sty 2015, o 18:47 --Powiedzcie czy dobrze rozwiązuje zadanie 1.

\(\displaystyle{ \begin{cases} f(0)=0\\f(1)-f'(1)=0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f(x) = ax^2 + bx + c}\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0}\)
\(\displaystyle{ f(0) = c = 0}\)
\(\displaystyle{ c = 0}\)

\(\displaystyle{ f(1) = a + b + 0}\)

\(\displaystyle{ f'(x) = 2ax + b}\)
\(\displaystyle{ f'(1) = 2a + b}\)

\(\displaystyle{ f(1) - f'(1) = 0}\)
\(\displaystyle{ a + b - 2a + b = 0}\)
\(\displaystyle{ -a + 2b = 0}\)
\(\displaystyle{ 2b = a}\)
\(\displaystyle{ a = 2, b = 1}\)

Bierzemy dwie dowolne wektory f,g
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(0)=0, f(1)-f'(1)=0 \\ g(0)=0, g(1)-g'(1)=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f(1) = f'(1)}\)
i dowolne \(\displaystyle{ \alpha , \beta \in R}\)

\(\displaystyle{ Lewa = ( \alpha f + \beta g)(1) = \alpha f(1) + \beta g(1) = \alpha f'(1) + \beta g'(1) = ( \alpha f + \beta g)'(1) = Prawa}\)

\(\displaystyle{ a = 1, b=0 \Rightarrow w1(x) = x^2}\)
\(\displaystyle{ a = 0, b=1 \Rightarrow w1(x) = x}\)

\(\displaystyle{ \alpha _{1}, \beta _{2} \in R}\)
Sprawdzamy czy
\(\displaystyle{ 1. \alpha _{1} = \alpha _{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ 2. lin {w1,w2}}\)

\(\displaystyle{ \alpha _{1}w1 + \alpha _{2}w2 = 0}\)
\(\displaystyle{ \wedge _{x \in R} \alpha _{1}w1(x) + \alpha _{2}w2(x) = 0}\)
\(\displaystyle{ \wedge _{x \in R} \alpha _{1} x^2 + \alpha _{2}x = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1}x^2 = - \alpha _{2}x}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1} = 0, \alpha _{2} = 0}\)

I chyba coś źle bo dalej się zamieszałem.

[Medea 2]

Namieszałeś... w pierwszym podprzestrzeń składa się z wielomianów \(\displaystyle{ 2\lambda t^2 + \lambda t}\), \(\displaystyle{ 2 t^2+t}\) jest wektorem bazowym, a przestrzeń ma wymiar 1.