Wyznaczyc baze

[ewciak]

Wyznaczyć bazę \(\displaystyle{ B}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) taką, że

\(\displaystyle{ [-7,11]_B=[2,3], \quad [-1,-2]_B=[1,-1]}\).

Jak się rozwiązuje zadania tego typu?

[jutrvy]

Chyba coś pomieszałeś, piszesz o bazie przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\), ale wektory mają dwie współrzędne...

[ewciak]

racja, wkradła się literówka, już poprawione więc jak to ugryźć?

[jutrvy]

No to tak. Musisz sobie powiedzieć, że baza \(\displaystyle{ B}\) składa się z dwóch wektorów (wiesz dlaczego, prawda?). Niech te wektory nazywają się \(\displaystyle{ v_1, v_2}\). Skoro \(\displaystyle{ (-7,11)}\) to współrzędne wektora \(\displaystyle{ (2, 3)}\) w bazie \(\displaystyle{ B}\), więc mamy, że \(\displaystyle{ -7\cdot v_1 + 11\cdot v_2 =(2, 3)}\). Napisz analogiczne równanie dla drugiego wektora, podstaw \(\displaystyle{ v_1 = (x_1, y_1), v_2 = (x_2, y_2)}\) i masz

[akermann1]

Warunki na bazę:

1) Liniowa niezależność
2) Wektory rozpinają bazę w tym przypadku \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\)

[ewciak]

jutrvy - dzięki za pomoc!

[jutrvy]

Luziorek