Wyznaczyć zmienną 'a' tak, żeby wektor był kombinacją liniow

[michalalex132]

Witam.
Mam następujące zadanie:

Dla podanej przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) wyznaczyć wszystkie takie wartości parametru a, że wektor \(\displaystyle{ v \in V}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ v_1, v_2, v_3 \in V}\):

\(\displaystyle{ V = \RR[x]3}\)

\(\displaystyle{ v = x^3 + 2x^2 - 7x}\)
\(\displaystyle{ v_1 = 2x^3 + ax}\)
\(\displaystyle{ v_2 = x^3 + 2x^2 + ax + 4}\)
\(\displaystyle{ v_3 = 2x^2 + 3;}\)


Rozpisałem to do takiej postaci:

\(\displaystyle{ 4 \alpha _{2} + 3\alpha _{3} + (2\alpha _{1}+\alpha _{2})x^3 + (2\alpha _{2}+2\alpha _{3})x^2 + (\alpha _{1}a + \alpha _{2}a)x = 0}\)

Dalej porównałem do zera - powstał ukłąd równań:
\(\displaystyle{ 4 \alpha _{2} + 3\alpha _{3} =0}\)
\(\displaystyle{ 2\alpha _{1}+\alpha _{2} =0}\)
\(\displaystyle{ 2\alpha _{2}+2\alpha _{3} = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1}a + \alpha _{2}a = 0}\)

i dane wartości wpisałem w macierz


\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&4&3&0&0\\
2&1&0&0&0\\
0&2&2&0&0\\
a&a&0&0&0\end{bmatrix}}\)

Problem w tym, że nie mam pojęcia:
a) czy dobrze podchodzę do sprawy
b) jak można zredukować "a" w 2 kolumnach w ostatnim wierszu...

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania.

[kerajs]

Dla podanej przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) wyznaczyć wszystkie takie wartości parametru a, że wektor \(\displaystyle{ v \in V}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ v_1, v_2, v_3 \in V}\).

Ty rozpisujesz
\(\displaystyle{ \alpha _{1} v _{1} +\alpha _{2} v _{2} +\alpha _{3} v _3} = 0}\)
a powinno być z treści zadania
\(\displaystyle{ \alpha _{1} v _{1} +\alpha _{2} v _{2} +\alpha _{3} v _3} = v}\)
co rewiduje Twój układ do układu:
\(\displaystyle{ 2\alpha _{1}+\alpha _{2} =1}\)
\(\displaystyle{ 2\alpha _{2}+2\alpha _{3} = 2}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1}a + \alpha _{2}a = -7}\)
\(\displaystyle{ 4 \alpha _{2} + 3\alpha _{3} =0}\)