Kombinacja liniowa wektorów

[michalalex132]

Witam. Jak można byłoby rozwiązać takie zadanie:

Dla podanej przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) wyznaczyć wszystkie takie wartości parametru a, że wektor \(\displaystyle{ v \in V}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ v1, v2, v2 \in V}\):

a) \(\displaystyle{ V = \RR ^{3}, v = (3a,5a,3), v1 = (1,2,1), v2 = (3,4,9), v3 = (7,8,-2)}\)

[wiedzmac]

Z czym masz problem? Wystarczy rozwiązać prosty układ równań.

[michalalex132]

A jak taki układ mógłby wyglądać?

Czy tak:

\(\displaystyle{ 3a = 1 + 3+ 7}\)
\(\displaystyle{ 5a = 2 + 4 + 8}\)
\(\displaystyle{ 3 = 1 + 9 + (-2)}\)

? Przecież w 3 wierszu otrzymuję sprzeczność. Jakie są zasady rozwiązywania takich zadań?

[PeeeR]

Wektor v jest kombinacją pozostałych jeśli można go zapisać w postaci sumy pozostałych mnożonych przez skalary, stąd wystarczy wpisać tamte wektory w kolumny macierzy, a wektor v w kolumnę wyników - dalej eliminacja Gaussa i wyznaczenie takich parametrów kiedy układ jest niesprzeczny.

[michalalex132]

wychodzi, że jest sprzeczny, gdy \(\displaystyle{ a \neq 2}\). Czyli \(\displaystyle{ a = 2.}\)
Dziękuję za pomoc.