Wyznacznik macierzy oraz układ Cramera

[krantox]

1. Oliczyć wyznacznik macierzy
\(\displaystyle{ A=[a_{ij}] _{i,j \le n}
a_{ij}=i+j}\)

2. Rozwiązać układ metodą Cramera
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x _{1}+x _{2}+...+x_{n}=0\\x _{1}+2x _{2}+...+x _{n}=0\\x _{1}+x _{2}+3x _{3}+...+x _{n}=0\\...\\x _{1}+x _{2}+...+nx _{n}=0
\end{cases}}\)

Nie wiem jak policzyć wyznacznik macierzy stopnia n-tego. Wszelkie sugestie mile widziane.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2& 3 & 4 & \cdots & 1+n \\
3 &4 & 5 & \cdots & 2+n \\
4 & 5 & 6 & \cdots & 3+n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n+1& n+2 & n+3 & \cdots & n+n
\end{bmatrix}}\)
od wszystkich wierszy odejmuję wiersz pierwszy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2& 3 & 4 & \cdots & 1+n \\
1 &1 & 1 & \cdots & 1 \\
2 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n& n & n & \cdots & n
\end{bmatrix}}\)
teraz drugim wierszem wyzeruj wiersze od trzeciego do ostatniego. Wyznacznik to 0.
Ad 2.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 2 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & n
\end{bmatrix} =}\)
od wszystkich wierszy odejmuję wiersz pierwszy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1& 1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 &1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0& 0 & 0 & \cdots & n-1
\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W =(n-1)! \neq 0}\)
\(\displaystyle{ W _{x _{1} } =W _{x _{2} } =....=W _{x _{n} } =0}\)

to układ oznaczony który ma tylko rozwiązanie trywialne.