Bazy oraz wymiary.

[Piotrek172]

Witam, mam problem z takim zadaniem, nie wiem w jaki sposób mógłbym go rozwiązać:
Wskazać bazy i określić wymiary podanych przestrzeni liniowych:
a) \(\displaystyle{ V = \left\{ (x+y+z,x-y,x-z,y-z) : x,y \in R\right\}}\)

[musialmi]

Sprawdź liniową (nie)zależność generatorów.

[Piotrek172]

Ale co mi to da wtedy? Mógłbyś podać schemat w jaki sposób rozwiązywać takie i podobne przykłady, byłbym wdzięczny.
Ewentualnie jakaś literaturę/kurs? Bo czytam skoczylasa i nie czaje nic, tyle ze zbiór B jest bazą przestrzeni V wtedy gdy B jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych i zbiór ten generuje przestrzeń V

[musialmi]

Nie wiem jaki jest schemat, chyba nigdy nie rozwiązywałem takiego zadania ;p No, może raz jedno rok temu.
A co ci to da - na przykład pozwoli ci wyznaczyć bazę i wymiar

[Piotrek172]

No tak, strasznie ta algebra jest dla mnie oporna i nielogiczna ;/ Mógłbyś polecić jakaś literaturę/kurs? Bo czytam skoczylasa i nie czaje nic, tyle ze zbiór B jest bazą przestrzeni V wtedy gdy B jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych i zbiór ten generuje przestrzeń V

[musialmi]

Też jej nie lubię. Ale nielogiczną to bym ją nie nazwał. Jeśli studiujesz Matematykę, to Skoczylas nie jest podręcznikiem dla ciebie. Poza tym to, co napisałeś o bazie, bardzo ci się przyda w kontekście tego zadania.

[Piotrek172]

Studiuje informatyke, matma jest tylko piątym kołem u wozu....
No np jest coś takiego :

\(\displaystyle{ V = \left\{ (x,y,z,t) \in R^{4} : x+y = z - y \right\}}\)

Pisze
\(\displaystyle{ V = \left\{ (z-2y,y,z,t) \in R^{4} : x+y = z - y \right\} = lin \left\{ (-2,1,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,1) \right\}}\)

Liniowa niezależność otrzymanych trzech generatorów (skąd sie te generatory wzięły, losowe liczby podstawił autor książki?, dlaczego 3 generatory a nie 4?) przestrzeni V wynika z tego że (z-2y,y,z,t) = (0,0,0,0) (czego to jest porównane do 0?) wtedy i tylko wtedy gdy y=z=t=0 (przecież w przypadku generatorów y = 1,0,0 (druga liczba w każdym z wektorów) co jest różne 0).

Edit: i podany jest jeszcze rozmiar dim V = 3, skąd to sie wzięło, wyssane z palca czy co?

[musialmi]

\(\displaystyle{ (z-2y,y,z,t)=x(0,0,0,0)+y(-2,1,0,0)+z(1,0,1,0)+t(0,0,0,1)}\) - porównaj sobie z tym, jak jest zadana na początku ta przestrzeń. Wektor \(\displaystyle{ (0,0,0,0)}\) może sobie być generatorem, ale nigdy nie należy do bazy (wiesz dlaczego?).

To porównanie do zera jest, bo ktoś badał liniową niezależność, co ty powinieneś też zrobić

Uwagi w trzecim nawiasie nie rozumiem.

Kolejne, co chcę napisać: polecam nie traktować matematyki tak, jak traktujesz, bo na informatyce to ona się jeszcze przyda troszkę A to zadanie z pierwszego posta pominąłeś?

EDIT:
Rozmiar wynika z liczby wektorów w bazie... Przeczytaj najpierw teorię, a potem popatrz na zadania, naprawdę będziesz znacznie lepiej wiedział co tam się dzieje

[Piotrek172]

A w przypadku takiego czegoś :
\(\displaystyle{ V = \left\{ (x,y,z,t) \in R^{4} : x = 2y=3z=4t \right\}}\)

No i mam podać przykład bazy.
PS: Teorie ok, możesz polecić jakaś książkę z wyłączeniem Skoczylasa?

-- 20 sty 2015, o 22:47 --

Druga rzecz, sprawdzanie czy są niezależne, czy to nie jest założenie tego równania?? Jeżeli sprawdziłbym i okazałoby że są liniowe co wtedy?

Edit2: Kiedy wektory zapisane za pomocą p(x),p'(x),p''(x) są liniowo niezależne? Jaki warunek muszą spełniać?

[PeeeR]

Serio zapoznaj się z podstawowymi pojęciami to nie będzie to tak obce dla Ciebie. Jeśli układ rozpinający jest liniowo zależny to nie jest bazą, ale po wykreśleniu niektórych wektorów, tak że pozostałe są liniowo niezależne i rozpinają przestrzeń już tak.

Wektory są liniowo niezależne jeśli nie są swoimi kombinacjami liniowymi, tj. żaden nie daje się przedstawić w postaci sumy pozostałych mnożonych przez skalary. Innymi słowy wtw gdy \(\displaystyle{ a_{1} \alpha _{1}+a_{2} \alpha_{2}+...+ a_{n} \alpha_{n}=0 \Rightarrow \wedge _{i \in {1,...,n}} a_{i}=0}\)