Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa

[niuni3k]

Witam, mam taki problem z którym nie potrafię sobie poradzić. Polecenie jak w temacie
Więc mam podany układ równań liniowych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2\ x + \ y + 3\ z = 3\\ \ x + \ z = 1 \\ 2 \ x - \ y + \ z =1\end{cases}}\)

Jako macierz:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{llll} 2 & 1 & 3 & 3\\ 1 & 0 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 1 & 1\end{array}\right\}$}\)\(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{llll} 2 & -2 & 3 & 3\\ 0 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -2 & -2\end{array}\right\}$}\)

Przedostatnią kolumną powinna być kreska, ale nie wiem jak zrobić.
Na zajęciach miałem przedstawioną tą metodę na zasadzie schodków z elementami niezerowymi, pod którymi znajdowały się same zera.
Proszę o pomoc gdyż nie wiem co źle/co dalej.

[PeeeR]

Możesz schodkować dalej, pomnóż środkowy przez (-1), dodaj go dwa razy do trzeciego (dostaniesz wiersz zerowy, który wykreślasz) i odejmij trzy razy od pierwszego, pierwszy podziel przez 2. Dostaniesz macierz w postaci schodkowej zredukowanej - jak na zajęciach Teraz kwestia wypisania odpowiednich rozwiązań, co wydaje się nietrudne Oczywiście w tym wypadku rozwiązanie ogólne będzie miało zmienną niezależną

[SlotaWoj]

PeeeR podał sposób dalszego postępowania dla macierzy końcowej podanej przez Niuni3ka, który prowadzi do rozwiązania: z=1 i y=x. Tylko, że ta macierz nie jest równoważna macierzy pierwotnej układu.

Rozwiązaniem jest: y=x i z=1-x .

Przekształcając macierz Niuni3k albo się pomylił, albo wykonał niedozwoloną operację elementarną na kolumnach macierzy.

[niuni3k]

Czyli w tej metodzie mogę działać tylko i wyłącznie na wierszach?

Aha i jeśli mam policzyć wyznacznik macierzy a jest to macierz kwadratowa 4 stopnia to muszę skorzystać z przekształcenia Laplace'a ale żeby do niej dojść również mogę działać tylko na wierszach?

[PeeeR]

Wybacz, niedopatrzenie Dziękuje SlotaWoj za doprecyzowanie.

niuni3k - Myślę, że nie jesteś do końca świadomy czego dokonujesz poprzez operacje na tej macierzy. Jeśli masz układ równań wpisany do macierzy, albo pewien układ wektorów to operacje na kolumnach z zasady zmieniają układ.

Operacje na wierszach to odpowiednik (dla równań) odejmowania stronami, mnożenia przez skalar, zamiany kolejności równań w układzie (to nie wpływa na jego rozwiązanie), a dla wektorów to operacje odejmowania wektorów, mnożenia przez skalar i zamiany miejsc, oczywiście nie zmienia to przestrzeni rozpiętej przez te wektory, w przeciwieństwie do operacji na kolumnach. Np. operacja usunięcia zerowej kolumny, która stosuje się przy wyznaczaniu rzędu macierzy powoduje dla wektorów zmianę wymiaru przestrzeni w której są zawarte (mają mniej współrzędnych niż powinny)

Jeśli masz wyznaczyć wyznacznik macierzy o wymiarach 4x4 wystarczy skorzystać z rozwinięcia Laplace'a względem dowolnego z wierszy/kolumn a następnie dla powstałych macierze 3x3 wyznaczyć wyznacznik regułą Sarrusa (albo rozwijać każdy z nich względem któregoś z wierszy/kolumn i liczyć wyznacznik macierzy 2x2). Uwaga: Jedyna dopuszczalna operacja elementarna, dla której wyznacznik jest niezmienny to odejmowanie i dodawanie wierszy/kolumn pomnozonych przez skalar, każde mnożenie przez skalar powoduje pomnożenie wyznacznika macierzy (wynika to z tw. Cauchy'ego i tego, że macierz elementarna \(\displaystyle{ I_{i}[c]}\) ma wyznacznik równy c), każda zamiana miejscami wierszy/kolumn zmienia wyznacznik na przeciwny (analogicznie, bo \(\displaystyle{ detT_{ij}=-1}\)). Wygodnie jest uprościć macierz korzystając z przekształceń zanim zaczniesz rozwijać (aby wygenerować możliwie dużą ilość zer).

[SlotaWoj]

Metoda eliminacji Gaussa - tylko wiersze.
Przekształcanie wyznacznika do Laplace'a - można kolumny.

Operacje elementarne na macierzy a wyznacznik:

1. Zamiana miejscami dowolnych dwóch wierszy lub kolumn macierzy zmienia znak jej wyznacznika na przeciwny.
2. Pomnożenie przez skalar dowolnego wiersza lub kolumny macierzy jest równoznaczne pomnożeniu przez ten skalar wyznacznika macierzy.
3. Dodanie do dowolnego wiersza/kolumny dowolnej kombinacji liniowej pozostałych wierszy/kolumn nie zmienia wartości wyznacznika macierzy.

W metodzie eliminacji Gaussa wykonywanie operacji elementarnych na kolumnach jest zabronione. bo operacje takie zmieniają zbór rozwiązań układu równań (powodują transformację układu równań do postaci nierównoważnej). Operacje elementarne na wierszach nie zmieniają zbioru rozwiązań układu równań.
I tak operacje elementarne na wierszach wymienione powyżej w punktach 1. i 2. zmieniają co prawda wyznacznik macierzy, ale w taki sam sposób zmieniają inne wyznaczniki występujące w licznikach wzorów Cramera, więc rozwiązanie układu równań się nie zmienia.