Dla jakich wartości parametru P układ ma jedno rozwiazanie

[ralph994]

Dla jakich wartości parametru P układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Proszę o pomoc, jakaś podpowiedź ?

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+3y+3z=px\\3x+y+3z=py\\3x+3y+z=pz \end{array}}\)

[Dilectus]

Wyznaczniki, metoda Cramera itd. Looknij tu: https://www.matematyka.pl/page.php?p=kom ... -liniowych

[ralph994]

No tak ale mam problem z tym px,py,pz. Zazwyczaj takie równania gdzie były tam normalne liczby rozwiązywałem metodą Cramera bez problemu. Teraz nie wiem co gdzie i jak podstawić.

[Dilectus]

Napisz te równania tak:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \left( 1-p \right) x+3y+3z=0\\3x+\left( 1-p\right) y+3z=0\\3x+3y+\left( 1-p\right) z=0 \end{array}}\)

wyznaczniki itd.

-- 19 sty 2015, o 22:15 --Jak widać, jest to układ jednorodny. Żeby miał rozwiązanie, trzeba, żeby

\(\displaystyle{ W=\left|\begin{array}{ccc}\left( 1-p\right) &3&3\\3&\left( 1-p\right) &3\\3&3&\left( 1-p\right)\end{array}\right| \neq 0}\)

Rozwiązanie będzie wówczas takie:

\(\displaystyle{ x=y=z=0}\)

[ralph994]

Zatrzymuje sie na tym : \(\displaystyle{ p^3-3p^2-30p-28}\)
Co dalej mam z tym zrobić ??

[Dilectus]

\(\displaystyle{ W=\left|\begin{array}{ccc}\left( 1-p\right) &3&3\\3&\left( 1-p\right) &3\\3&3&\left( 1-p\right)\end{array}\right|=-p^3+3p^2+24p+28}\)

\(\displaystyle{ W=0 \ \Leftrightarrow \ -p^3+3p^2+24p+28=0}\)

\(\displaystyle{ p _{1}=p _{2}= -2, \ p _{3}=7}\)

A zatem układ ma rozwiązanie

\(\displaystyle{ x=y=z=0}\),

gdy

\(\displaystyle{ p \neq -2 \ \wedge \ p \neq 7}\)

[ralph994]

A skąd wyszło -2 i 7 ? Jak to policzyłeś ?

[Zahion]

Sumując układ stronami, mamy, że \(\displaystyle{ (x+y+z)(p-7) = 0}\).
1) Gdy \(\displaystyle{ p = 7}\) otrzymujemy, że :
\(\displaystyle{ x + y = 2z}\)
\(\displaystyle{ y + z = 2x}\)
\(\displaystyle{ x + z = 2y}\)
Co daje nam rozwiązania \(\displaystyle{ x = y = z}\).
2) Gdy \(\displaystyle{ x + y + z = 0}\) to układ ma postać
\(\displaystyle{ 2x + 2y = pz}\)
\(\displaystyle{ 2y + 2z = px}\)
\(\displaystyle{ 2x + 2z = py}\)
Co po zsumowaniu przykładowo 1), 2) daje nam
\(\displaystyle{ 2(x-z) = -p(x-z)}\), tj. \(\displaystyle{ (x-z)(p+2)=0}\), analogicznie dla pozostałych sum.
Stąd jeśli co najmniej jedna ze zmiennych jest równa to \(\displaystyle{ x=y=z=0}\), a dla \(\displaystyle{ p = -2}\) mamy, że wszystkie liczby, które spełniają równość \(\displaystyle{ x+y+z=0}\) są rozwiązaniem.
Skąd mamy odpowiedz [...].