Macierze Toeplitza

[PiotrowskiW]

Zadanie:
udowodnić, że iloczyn dwu macierzy Toeplitza jest macierzą Toeplitza.
Bardzo proszę o dowód.

[Yelon]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&1&2\\5&4&1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}2&3&6\\1&2&3\\7&1&2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}25&10&18\\23&16&31\\21&24&44\end{array}\right]}\) ta ostatnia nie jest macierzą Toeplitza.

[PiotrowskiW]

Znalazłem coś podobnego w sieci.
Może to co ja mam tutaj, to nie jest klasyczna definicja czy coś?!

A matrix \(\displaystyle{ A=\left( a _{jk }\right)_{j,k \in Z}}\) is called a Toeplitz matrix if for each \(\displaystyle{ r,j,k \in Z}\)we have \(\displaystyle{ a_{j-r,k-r} = a_{jk}}\)

To jest z jakiejś książki do Teorii Falek ale jakoś zwróciłem na to uwagę, bo było bez dowodu.
Może źle zrozumialem słowo product?
Lemat brzmi:

A product of Toeplitz matrices is a Toeplitz matrix.

-- 19 sty 2015, o 21:13 --

Ukryta treść:    

Po dalszej części książki domyślam się, że może twierdzenie miało brzmieć: iloczyn macierzy toeplitza przez siebie jest macierzą toeplitza?!

[Yelon]

Znalazłem coś takiego:
Niech
\(\displaystyle{ T _{n}}\) będzie macierzą Toeplitza wymiaru \(\displaystyle{ (n \times n)}\) oraz \(\displaystyle{ T _{n}(f) = \left[ \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}f(\lambda)e^{-i(k-j)\lambda}d\lambda, : k,j =0, 1, 2, ..., n-1 \right]}\).

Wtedy choć, iloczyn macierzy Toeplitza nie jest macierzą Toeplitza, o tyle
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } T _{n}(f)T _{n}(g)}\) jest asymptotycznie równowartościowy ciągowi macierzy \(\displaystyle{ x _{n} =T _{n}(fg)}\). Chodzi chyba o to, że idąc z tymi ciągami do granicy wyrazy zaczynają wyglądać podobnie

[PiotrowskiW]

ja znalazłem to:
... 2011/18617
Zatem to obala wszystko.