rząd macierzy

[bob1000]

Muszę obliczyć rząd macierzy kwadratowej stopnia trzeciego nad \(\displaystyle{ \ZZ_7}\). Obliczyć rząd potrafię lecz o co chodzi z tym "nad \(\displaystyle{ \ZZ_7}\)"?

[SlotaWoj]

Każda macierz opisuje jakieś odwzorowanie przestrzeni liniowej, która jest nad jakimś ciałem, z którego pochodzą współrzędne wektorów tej przestrzeni i skalary, przez które te wektory są mnożone. Stąd nad \(\displaystyle{ \ZZ_7}\) pewnie jest tym ciałem. Ale co w szczegółach ten zapis oznacza – nie mam pojęcia. Nad \(\displaystyle{ \ZZ}\) rozumiałbym jako liczby całkowite, ale te nie mają struktury ciała, a tu jeszcze \(\displaystyle{ \ \ZZ_7}\) .

[bob1000]

W szczegółach \(\displaystyle{ \ \ZZ_7}\) oznacza zbiór wszystkich reszt z dzielenia liczb całkowitych przez \(\displaystyle{ 7}\).

[SlotaWoj]

Aha. Ale dlaczego \(\displaystyle{ \ZZ_7}\), a nie po ludzku \(\displaystyle{ left[ 0; 7
ight)}\) .
A czy ta macierz jest podana?

[bob1000]

Jest to macierz \(\displaystyle{ D=\left[\begin{array}{ccc}1&3&2\\2&1&1\\4&0&5\end{array}\right]}\). Polecenie to wyznaczyć rząd macierzy w \(\displaystyle{ \ZZ_7}\).

[SlotaWoj]

Pewnie trzeba będzie wyznaczniki traktować mod 7.

[bob1000]

Mam podobną sytuację w inem zadaniu: Obliczyc podany wyznacznik czwartego stopnia nad \(\displaystyle{ \ZZ_7}\). Czyli jak wyliczę wyznacznik to liczę mod7 z tej liczby tak?

[SlotaWoj]

Pewnie tak. Ale skoro wyznacznik jest 4-go stopnia, to ja to mod 7 bym użył już wszystkich wyznacznikach stopnia 3-go. Trzeba by zastanowić się nad własnościami algebraicznymi: arytmetyki modulo i obliczania wyznaczników.