Układy równań - macierze

[kacper9507]

Cześć
Macierze ogarniam - nie mam z nimi większego problemu, ale niestety przydarzyła mi się ciężka sytuacja, że zaspałem w poniedziałek na algebrę (ćwiczenia) i we wtorek na wykłady ;-D

No i jutro mam koło z całych macierzy, wszystko ogarniam, ale nie rozumiem tylko dwóch typów zadania, na których mnie właśnie nie było. Podam treść i dwa pierwsze przykładu, jak by ktoś mógł w jakiś sposób sprecyzować zasadę rozwiązania byłbym bardzo wdzięczny ;P


1. Określ liczbę rozwiązań w zależności od parametru a. Znajdź te rozwiązania.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x + 3y - z =0 \\ 2x - 2y - az = 0 \\ 3x + 7y + 5z = 0 \end{cases}}\)

2. Sprawdź, dla jakiej wartości parametru a układ tej jest układem Crammera:

\(\displaystyle{ \begin{cases} (a + 1)x - ay = 1 \\ 2x + (a - 1) y = 3a\end{cases}}\)


Na to drugie zadanie mam jakiś sposób rozwiązania, lecz nie jestem pewny czy jest on tym właściwym!

Z góry dzięki za pomoc

[bartek118]

W takim razie pokaż swoje próby rozwiązania drugiego zadania.

W pierwszym - zastosuj eliminację Gaussa.

[SlotaWoj]

1. Dla wartości parametru a, przy której wyznacznik główny macierzy układu równań będzie równy 0 układ będzie nieoznaczony, tzn. będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań, w pozostałych przypadkach będzie miał tylko jedno rozwiązanie.
2. Dla wartości parametry a, przy których wyznacznik główny macierzy układu równań będzie różny od 0, układ równań będzie układem Cramera (będzie miał tylko jedno rozwiązanie).
   W przypadku gdy wyznacznik ten będzie równy 0 układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony) lub nie będzie miał żadnego rozwiązania (układ sprzeczny). To, który przypadek zachodzi zależy od wartości wyznaczników pojawiających się w licznikach wzorów Cramera – gdy chociaż jeden z nich jest różny od 0, układ jest sprzeczny.

[kacper9507]

No jeśli jest to układ Cramera, a mamy dwie niewiadome i dwa równania, to brakuje tylko tego, że wyznacznik główny musi być różny od zera, a więc liczę wyznacznik główny:

\(\displaystyle{ a^{2} - 1 + 2a = a^{2} +2a - 1}\)

Sprawdzam, kiedy wyznacznik jest różny od zera:

\(\displaystyle{ a^{2} + 2a - 1 \neq 0}\)

\(\displaystyle{ Delta = 4 - 4 * ( - 1 ) * 2 = 12}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{Delty} = 2 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ x_{1} = - 1 + \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ x_{2} = - 1 - \sqrt{3}}\)

Robię parabolę, gałązki są skierowane w górę, i patrzę kiedy jest różne od zera, czyli

\(\displaystyle{ a \in rzeczywistych \rightarrow oprócz \rightarrow x_{1} \rightarrow i \rightarrow x_{2}}\)

Dobrze to jest bo nie jestem pewien.

[SlotaWoj]

Źle!

• \(\displaystyle{ \Delta \neq 12}\)

[kacper9507]

Hah. Czyli błąd tkwi tylko w jednym zapisie, ale dobra już wszystko wiem.

[SlotaWoj]

Gdy nie jest to układ Cramera, to można (tak nadprogramowo) sprawdzić, czy jest on nieoznaczony czy sprzeczny. Twoja wiedza będzie przez to głębsza.