Odwzorowanie iniektywne lub surjektywne

[marmal]

Mam podane odwzorowanie liniowe:
\(\displaystyle{ f:R^2 \rightarrow R, f(x) = x_1 - x_2}\)

Moim zadaniem jest sprawdzić, czy odwzorowanie jest iniektywne lub surjektywne.
Nie jestem pewny poprawności mojego rozumowania, które przedstawiam niżej i proszę o zweryfikowanie.

Korzystając z definicji iniekcji:
\(\displaystyle{ f(x) = f(x') \Rightarrow x = x'}\)

Zatem odwzorowanie nie będzie iniektywne, bo dla:
\(\displaystyle{ f(3,2) = 3 - 2 = 1}\)
\(\displaystyle{ f(4,3) = 4 - 3 = 1}\)

Surjektywne chyba będzie, bo dla każdego \(\displaystyle{ y}\), czyli \(\displaystyle{ x_1 - x_2}\), znajdę odpowiedni \(\displaystyle{ x}\) z dziedziny, tylko nie wiem jak to wykazać.

Czy mój tok myślenia jest poprawny, jeśli nie to proszę powiedzcie mi jak rozwiązać tego typu zadanie.

[yorgin]

Mam podane odwzorowanie liniowe:
\(\displaystyle{ f:R^2 \rightarrow R, f(x) = x_1 - x_2}\)

Jaki jest związek \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ x_1}\) oraz \(\displaystyle{ x_2}\)?

Surjektywne chyba będzie, bo dla każdego \(\displaystyle{ y}\), czyli \(\displaystyle{ x_1 - x_2}\), znajdę odpowiedni \(\displaystyle{ x}\) z dziedziny, tylko nie wiem jak to wykazać.

Z tego nic nie wynika. Masz wziąć dowolne \(\displaystyle{ y}\) i znaleźć \(\displaystyle{ x_1}\) oraz \(\displaystyle{ x_2}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x_1,x_2)=x_1-x_2-y}\).

proszę powiedzcie mi jak rozwiązać tego typu zadanie.

Zwykle z definicji. Albo wyznaczyć rząd odwzorowania liniowego. Jest to wymiar obrazu a ten, jeżeli jest równy wymiarowi przeciwdziedziny, to mamy surjekcję.

[marmal]

Związek jest taki:
\(\displaystyle{ f(x) = x_1 - x_2}\)
\(\displaystyle{ x = (x_1,x_2)}\)
\(\displaystyle{ f(x_1,x_2) = x_1 - x_2}\)

Skąd się wzięło:
\(\displaystyle{ f(x_1, x_2) = x_1 - x_2 - y}\)?

W tym przypadku wymiar obrazu wynosi 1, więc jest równy wymiarowi przeciwdziedziny, zatem jest to surjekcja?

A co do tej iniekcji, to dobry kontrprzykład podałem?

[yorgin]

\(\displaystyle{ f(x_1, x_2) = x_1 - x_2 - y}\)?

Literówka... Powinno być:
\(\displaystyle{ f(x_1, x_2) = x_1 - x_2 \blue =\black y}\)

W tym przypadku wymiar obrazu wynosi 1, więc jest równy wymiarowi przeciwdziedziny, zatem jest to surjekcja?

Tak.

A co do tej iniekcji, to dobry kontrprzykład podałem?

Tak.