Różnica macierzy równa macierzy jednostkowej

[LipaMat]

Witam, mam problem z pewnym zadankiem.
Niech \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) będą macierzami kwadratowymi \(\displaystyle{ n \times n}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ AB^{T}}\) oraz \(\displaystyle{ CD^{T}}\) są symetryczne oraz \(\displaystyle{ AD^{T} - BC^{T} = I}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ A^{T}D - C^{T}B = I}\)

Próbowałem skorzystać z własności transpozycji i symetryczności macierzy, ale ciągle myli mnie zamiana kolejności mnożenia w tym, co mamy udowodnić. Ma ktoś jakiś pomysł?