Niech \(\displaystyle{ W = \left\{ w \in R\left[ x\right] _{3}: 2w'\left( x\right)+w''(0)=x\cdot w''(x)+w''(-x)+w(0) \right\}}\)
Zbadaj czy \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ R\left[ x\right] _{3}}\). Jeśli tak, to podaj bazę B i wymiar przestrzeni W.
Wiem jakie są warunki na podprzestrzeń, ale nie mam pojęcia jak je zastosować w praktyce (w tym przykładzie). Do bazy w ogóle nie wiem jak się zabrać. Prosiłbym o pomoc.
Zbadaj czy jest podprzestrzenią, podaj bazę i wymiar
Zbadaj czy jest podprzestrzenią, podaj bazę i wymiar
Jeśli \(\displaystyle{ w(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\), to jakie są warunki na \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) związane z tymi pochodnymi?
Zbadaj czy jest podprzestrzenią, podaj bazę i wymiar
Po obliczeniu pochodnych wyszło równanie:szw1710 pisze:Jeśli \(\displaystyle{ w(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\), to jakie są warunki na \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) związane z tymi pochodnymi?
\(\displaystyle{ (6a + 2b)x + 2c - d = 0}\)
Co zrobić z tym dalej?
I co ze sprawdzeniem warunków na podprzestrzeń?
Zbadaj czy jest podprzestrzenią, podaj bazę i wymiar
Podpowiem tak: przestrzeń \(\displaystyle{ \RR[x]_3}\) możesz utożsamić z \(\displaystyle{ \RR^4}\) w ten sposób:
\(\displaystyle{ w(x)=ax^3+bx^2+cx+d\leftrightarrow (a,b,c,d)}\)
Oczywiście ustanawia to izomorfizm obu przestrzeni (dlaczego?). A więc Twoje zadanie możesz wykonać zwyczajnie znajdując podprzestrzeń \(\displaystyle{ \RR^4}\). Zauważ, że
\(\displaystyle{ (6a + 2b)x + 2c - d = 0}\)
oznacza równość wielomianów, czyli zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ x}\). Jakie to daje warunki na współczynniki?
\(\displaystyle{ w(x)=ax^3+bx^2+cx+d\leftrightarrow (a,b,c,d)}\)
Oczywiście ustanawia to izomorfizm obu przestrzeni (dlaczego?). A więc Twoje zadanie możesz wykonać zwyczajnie znajdując podprzestrzeń \(\displaystyle{ \RR^4}\). Zauważ, że
\(\displaystyle{ (6a + 2b)x + 2c - d = 0}\)
oznacza równość wielomianów, czyli zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ x}\). Jakie to daje warunki na współczynniki?