Zbadaj czy jest podprzestrzenią, podaj bazę i wymiar

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
bumbur
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 26 lut 2014, o 20:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Zbadaj czy jest podprzestrzenią, podaj bazę i wymiar

Post autor: bumbur »

Niech \(\displaystyle{ W = \left\{ w \in R\left[ x\right] _{3}: 2w'\left( x\right)+w''(0)=x\cdot w''(x)+w''(-x)+w(0) \right\}}\)

Zbadaj czy \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ R\left[ x\right] _{3}}\). Jeśli tak, to podaj bazę B i wymiar przestrzeni W.

Wiem jakie są warunki na podprzestrzeń, ale nie mam pojęcia jak je zastosować w praktyce (w tym przykładzie). Do bazy w ogóle nie wiem jak się zabrać. Prosiłbym o pomoc.
szw1710

Zbadaj czy jest podprzestrzenią, podaj bazę i wymiar

Post autor: szw1710 »

Jeśli \(\displaystyle{ w(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\), to jakie są warunki na \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) związane z tymi pochodnymi?
bumbur
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 26 lut 2014, o 20:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Zbadaj czy jest podprzestrzenią, podaj bazę i wymiar

Post autor: bumbur »

szw1710 pisze:Jeśli \(\displaystyle{ w(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\), to jakie są warunki na \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) związane z tymi pochodnymi?
Po obliczeniu pochodnych wyszło równanie:
\(\displaystyle{ (6a + 2b)x + 2c - d = 0}\)

Co zrobić z tym dalej?

I co ze sprawdzeniem warunków na podprzestrzeń?
szw1710

Zbadaj czy jest podprzestrzenią, podaj bazę i wymiar

Post autor: szw1710 »

Podpowiem tak: przestrzeń \(\displaystyle{ \RR[x]_3}\) możesz utożsamić z \(\displaystyle{ \RR^4}\) w ten sposób:

\(\displaystyle{ w(x)=ax^3+bx^2+cx+d\leftrightarrow (a,b,c,d)}\)

Oczywiście ustanawia to izomorfizm obu przestrzeni (dlaczego?). A więc Twoje zadanie możesz wykonać zwyczajnie znajdując podprzestrzeń \(\displaystyle{ \RR^4}\). Zauważ, że

\(\displaystyle{ (6a + 2b)x + 2c - d = 0}\)

oznacza równość wielomianów, czyli zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ x}\). Jakie to daje warunki na współczynniki?
ODPOWIEDZ