Jądro i obraz przekształcenia liniowego

[jurant]

Cześć! Mam takie zadanko: podaj wymiary jądra i obrazu następującego przekstzałcenia liniowego:
\(\displaystyle{ L: R ^{3} \rightarrow R ^{4}, L(x,y,z)=(2x-y+z,x+2y-z,-x+3y-2z,8x+y+z);}\)

No to \(\displaystyle{ Ker L = (x,y,z)=(0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y+z=0 \\ x+2y-z=0 \\ -x+3y-2z=0 \\ 8x+y+z=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=-3x \\ z=-5x, x R \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ Ker L = {(x,y,z) : R^{3}: y=-3x, z=-5x} = {(x,-3x,-5x), xR} = Lin{(1,-3,-5} = BkerL = {(1,-3,-5)} \Rightarrow dim KerL = 1}\)
jednakże \(\displaystyle{ Im L = {x(2,1,-1,8), y=(-1,2,3,1), z(1,-1,-2,1)}}\) trzy wektory : [x,2y,-z], [-x,3y,2z], [8x,y,z] sa liniowo niezalezne => \(\displaystyle{ dim Im L = 3}\) no ale jest takie twierdzenie, ze \(\displaystyle{ dim ImL + dim KerL = dim R^{3}}\) wiec albo \(\displaystyle{ dim Ker L = 0}\) albo \(\displaystyle{ dim Im L = 2.}\)
Stad moje pytanie; Gdzie jest blad?

[akermann1]

A jak wygląda generator takiej przestrzeni?

[jurant]

Czy to beda wektory \(\displaystyle{ [1,2,-1], [-1,3,-2], [8,1,1]}\) ??

[a4karo]

No to\(\displaystyle{ Ker L = (x,y,z)=(0,0,0)}\)

skąd to wziąłeś?

[x,2y,-z], [-x,3y,2z], [8x,y,z] są niezależne

te tak, ale powinno być \(\displaystyle{ [x,2y,-z], [-x,3y,-2z], [8x,y,z]}\), a te już nie sa niezależne

[jurant]

Tam jest błąd i powinno być chyba, że \(\displaystyle{ \ker L = L(x,y,z)= (0,0,0,0)}\). Kurde już się pogubiłem :/ Nie wiem co dalej

[a4karo]

Nie. powinno być \(\displaystyle{ Ker\ L=\{(x,y,x): L(x,y,z)=(0,0,0,0)\}}\). Widzisz różnicę?
Reszta jest dobrze policzona, tylko pominąłeś minus. Tak naprawdę \(\displaystyle{ dim\ Im(L)=2}\)

[smaug14]

Miałbym jeszcze jedno pytanie do tego zadania. Skoro wychodzi nam że dim \(\displaystyle{ Im \left( L \right) = 2}\), to które z wektorów \(\displaystyle{ \left( 2,1,-1,8 \right) , \left( -1,2,3,1 \right) , \left( 1,-1,-2,1 \right)}\) będą bazą obrazu?

[a4karo]

Zobacz które z nich są w obrazie. Innymi słowy rozwiąż równania \(\displaystyle{ L(x)=v}\), gdzie $v$ jest wektorem, o który pytasz.. Może okazać się, że żadne.
Jeżeli wszystkie, to weż dwa dowolne liniowo niezależne.