Baza przekroju podprzestrzeni

[foxbuur]

Witam, czy mógłbym prosić o pomoc z tym zadaniem? Jakiś pomysł na a) i b) mam, ale nie wiem czy dobrze bym to zrobił i czy taka metoda jest poprawna, na c) nie mam pomysłu.

Dla danych podprzestrzeni \(\displaystyle{ W_{1}}\) i \(\displaystyle{ W _{2}}\) przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{4}}\) znaleźć bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ W_{1} \cap W _{2}}\)

\(\displaystyle{ a) lin([1,1,1,0], [0,0,0,1], [1,-1,0,0]), \begin{cases} x _{2} - x _{4} = 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ b) lin([1,0,0,1], [0,1,1,0], [1,-1,0,0]), \begin{cases} x _{1} - x _{2} = 0 \\x _{3} + x _{4} = 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ c) lin([1,7,7,8], [2,6,5,7]), lin([5,7,-1,8], [5,8,-1,9])}\)

Mój pomysł:
\(\displaystyle{ a)\\W_{1} \ni w = a[1,1,1,0] + b[0,0,0,1] + c[1,-1,0,0] = [a+c, a-c, a, b] \\
W_{2} \ni w= x _{2} - x _{4} = 0 \\
x _{2} = a-c \\
x _{4} = b \\
a-c = b \\
\\
w = [a+c, a-c, a, a-c] = a[1,1,1,1] + c[1,-1,0,-1]}\)
Czyli bazą będzie np \(\displaystyle{ \mathcal{B} = \left\{ [1,1,1,1], [1,-1,0,-1]\right\}}\)

\(\displaystyle{ b)\\W_{1} \ni w = [a+c, b-c, b, a] \\
\begin{cases} x _{1} - x _{2} = 0 \\x _{3} + x _{4} = 0 \end{cases}
\begin{cases} a+c-b+c=0\\ b+a=0 \end{cases} \\
\begin{cases} a=-b \\ b=c \end{cases} \\
w = [a+b,0,b,a] = a[1,0,0,1] + b[1,0,1,0]\\}\)
Czyli bazą będzie np \(\displaystyle{ \mathcal{B} = \left\{ [1,0,0,1], [1,0,1,0]\right\}}\)

[lukasz1804]

Witaj,

pewnie, że pomysł dobry. Obliczenia w a) i b) też są ok.

W c) utwórzmy układ równań z 4 niewiadomymi.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+2b=5c+5d \\ 7a+6b=7c+8d \\ 7a+5b=-c-d \\ 8a+7b=8c+9d \end{cases}}\). Wystarczy go rozwiązać, poszukując wektorów bazowych.

[foxbuur]

czyli w c) po rozwiązaniu tego układu uzyskamy:
\(\displaystyle{ a = \frac{3}{4} d, \quad b = -d, \quad c = \frac{-5}{4} d, \quad d = d}\)

\(\displaystyle{ w = d[\frac{3}{4}, -1, \frac{-5}{4}, 1]}\)

Czyli baza \(\displaystyle{ \mathcal{B} = \left\{ [\frac{3}{4}, -1, \frac{-5}{4}, 1] \right\}}\), tak?

[lukasz1804]

Wszystko się zgadza.