Sprawdzić, czy działanie jest przemienne, łączne...

[michalalex132]

Witam.

Mam następujące zadanie:

Sprawdzić, czy działanie \(\displaystyle{ \cdot}\) w zbiorze A jest przemienne, ma element neutralny, jest łączne, jeśli:

a) \(\displaystyle{ A=\ZZ, a \cdot b =\begin{cases} 0\ \text{gdy}\ a+b\ \text{jest liczbą parzystą} \\ 1\ \text{gdy}\ a+b\ \text{jest liczbą nieparzystą}\end{cases}}\)

b) \(\displaystyle{ A = \RR^2, (x1,x2) \cdot (y1,y2) = (x1+y1, x2-y2)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ (x1,x2), (y1,y2) \in \RR^2}\)

Ponieważ jestem w tym zakresie początkujący, chciałbym prosić o kontrolę moich rozwiązań:

a)
Zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \ZZ}\). Iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ a \cdot b}\) (czyli zbiór wszystkich par \(\displaystyle{ (a,b)}\) zbioru \(\displaystyle{ \ZZ}\)) jest przyporządkowany \(\displaystyle{ 0}\) (gdy "zwykłe" dodawanie \(\displaystyle{ a + b}\) jest liczbą parzystą), albo \(\displaystyle{ 1}\) (gdy "zwykłe" dodawanie \(\displaystyle{ a + b}\) jest liczbą nieparzystą).

Czyli to zadanie mogę rozwiązać na 2 sposoby:
- mogę zauważyć, że \(\displaystyle{ a \cdot b = (a+b) mod 2 = a mod2 + b mod2 = (b+a) mod2}\)
- lub mogę rozrysować tabelkę działania dla liczb parzystych (p) i nieparzystych (n) (nie wiem, czy to dobre rozw.): (p,p) -> 0 , (p,n) -> 1, (n,p) -> 1, (n,n)->0

Z powyższych rozumowań będzie wynikało, że na pewno działanie jest przemienne. Nie wiem jak jednak sprawdzić, czy ma element neutralny i czy jest łączne. Jak można byłoby to zrobić?


b)
Zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest płaszczyzną rzeczywistą - czyli jest iloczynem kartezjańskim par współrzędnych (nie wiem, czy to dobre określenie?) \(\displaystyle{ (x1,x2) \cdot (y1,y2)}\). Czyli muszę teraz podstawić za x1, x2, y1, y2 dowolne liczby z tego zbioru (np. \(\displaystyle{ (1,1) \cdot (1,-1) = (2,2)}\) ) i sprawdzić łączność, przemienność i czy jest element neutralny? Tylko jak to zrobić, szczególnie z tym elementem neutralnym?

[a4karo]

\(\displaystyle{ a\cdot b}\) nie jest iloczynem kartezjańskim, tylko działaniem.
Napisz sobie co to znaczy, że e jest elementem neutralnym działania. A potem spróbuj znależć takie element (lub pokaż, że go nie ma - raczej to drugie )

b) chyba nie rozumiesz pojęcia iloczynu kartezjańskiego.

Czyli muszę teraz podstawić za \(\displaystyle{ x1, x2, y1, y2}\) dowolne liczby z tego zbioru (np. \(\displaystyle{ (1,1) \cdot (1,-1) = (2,2) )}\)

Nie widzisz tu sprzeczności? piszesz "dowolne" a potem wybierasz konkretne.

Żeby pokazać, że pewna własność zachodzi musiszc rzeczywiście wziąć dowolne (więc nie konkretne).
Żeby pokazać, żę coś nie zachodzi, wystarczy, że pokażesz konkretne liczby, które nie spełniaja warunku.

Wsk. Czy potrafisz wskazac taki element \(\displaystyle{ (e,f)}\) taki, że dla dowolnego \(\displaystyle{ (x,y)}\) zachodzi
\(\displaystyle{ (x,y)\cdot(e,f)=(x,y)}\) ? (To byłby element neutralny)

[michalalex132]

\(\displaystyle{ a\cdot b}\) nie jest iloczynem kartezjańskim, tylko działaniem.
Napisz sobie co to znaczy, że e jest elementem neutralnym działania. A potem spróbuj znależć takie element (lub pokaż, że go nie ma - raczej to drugie )

\(\displaystyle{ e}\) jest to taki element, który nie zmienia liczb, przed którymi stoi:

\(\displaystyle{ a*e=e*a=a}\)

b) chyba nie rozumiesz pojęcia iloczynu kartezjańskiego.

Czyli muszę teraz podstawić za \(\displaystyle{ x1, x2, y1, y2}\) dowolne liczby z tego zbioru (np. \(\displaystyle{ (1,1) \cdot (1,-1) = (2,2) )}\)

Nie widzisz tu sprzeczności? piszesz "dowolne" a potem wybierasz konkretne.

Żeby pokazać, że pewna własność zachodzi musiszc rzeczywiście wziąć dowolne (więc nie konkretne).
Żeby pokazać, żę coś nie zachodzi, wystarczy, że pokażesz konkretne liczby, które nie spełniaja warunku.

Źle określiłem, o co mi chodziło - z tych dowolnych wybrałem konkretne, które wypisałem.

Wsk. Czy potrafisz wskazac taki element \(\displaystyle{ (e,f)}\) taki, że dla dowolnego \(\displaystyle{ (x,y)}\) zachodzi
\(\displaystyle{ (x,y)\cdot(e,f)=(x,y)}\) ? (To byłby element neutralny)

[/quote]

Elementem jest liczba jeden, ponieważ nie zmienia wyniku działania:
\(\displaystyle{ (e,f) = (1,1)}\)

b) chyba nie rozumiesz pojęcia iloczynu kartezjańskiego.

Nie mogę znaleźć prostej definicji... Z tego, co zrozumiałem - iloczyn kartezjański jest zbiorem wszystkich par elementów danego zbioru. A działanie jest to funkcja, przypisująca danym parom (ze wszystkich możliwych par będących wspomnianym iloczynem kartezjańskim) określoną liczbę? I ta funkcja jest działaniem, a przypisana liczba wynikiem działania?

[a4karo]

Elementem jest liczba jeden, ponieważ nie zmienia wyniku działania:
\(\displaystyle{ (e,f) = (1,1)}\)

Wiesz o jakim działaniu mówisz? Przyjrzyj się definicji: to nie jest zwyczajne mnożenie

[michalalex132]

\(\displaystyle{ (x1,x2) \cdot (y1,y2) = (x1+y1, x2-y2)}\)

Czyli element neutralny to zero, bo:

\(\displaystyle{ (x1,x2) \cdot e = (x1,x2) = e \cdot (x1,x2) \Leftrightarrow e = (0,0) \Leftrightarrow y1 = 0 \wedge y2 = 0}\)

Prawda?

[a4karo]

Element neutralny dodawania na ogól bywa nazywany zerem. Postaraj się odróżnić te pojęcia: zero jako element neutralny działania grupowego (zapisanego addytywnie), zero jako \(\displaystyle{ 0}\) (liczba rzeczywista) i zero w tym konkretnym przypadku (to zero jest parą \(\displaystyle{ (0,0}\)).

Element neutralny obliczyłeś poprawnie. Czas na łączność, przemienność...

[michalalex132]

Sprawdzenie przemienności:

\(\displaystyle{ (x1,x2) \cdot (y1,y2) ?= (y1,y2) \cdot (x1,x2)

(x1+y1,x2-y2) ?= (x2-y2, x1+y1)}\)
\(\displaystyle{ x1+y1 ?= x2 - y2}\)
\(\displaystyle{ x2-y2 ?= x1+y1}\)

np. dla \(\displaystyle{ x1 = 1, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 1}\)
\(\displaystyle{ 1+1 \neq 1-1}\)
\(\displaystyle{ 1-1 \neq 1+1}\)
czyli działanie nie jest przemienne.

[a4karo]

Sprawdź druga linijkę, coś jest nie tak. Czemu równa się prawa strona pierwszego równania?