Przekształcenie liniowe

michals95 · Post autor: **michals95** » 15 sty 2015, o 23:02

Znaleźć przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \mathcal{F: } \mathbb R^{4} \rightarrow \mathbb R^{4}}\) takie, że \(\displaystyle{ \ker \mathcal{F} =L([-1,1,-1,0],[1,1,0,1]), \Im \mathcal{F} =L([1,-1,1,1], [0,-2,1,0])}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 16 sty 2015, o 16:09

Bazę jądra uzupełnij od bazy dziedziny. Na wektorach bazowych jądra zadajesz oczywiście zero, a na dwóm pozostałym przypisujesz wektory bazowe obrazu.

Dlaczego ta konstrukcja jest poprawna i od razu prowadzi do rozwiązania?

michals95 · Post autor: **michals95** » 16 sty 2015, o 22:29

Nie rozumiem co masz konkretnie na myśli, w sensie uzupełnienie do bazy dziedziny. Chodzi o wektory z bazy kanonicznej?
Domyślam się, ze rozwiązanie może być oczywiste, tylko po prostu nie wiem jak do niego dojść, które wektory pozamieniać

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 16 sty 2015, o 22:58

Mam na myśli dobranie dwóch wektorów spoza jądra tak, aby razem z bazą jądra stanowiły bazę dziedziny.

Myślałem, że mogę wyrażać się w miarę precyzyjnie językiem matematyki. Jest takie twierdzenie, które mówi, że każdy układ wektorów liniowo niezależnych można uzupełnić do bazy przestrzeni liniowej. I o takie uzupełnienie mi chodziło. Układ wektorów liniowo niezależnych to baza jądra. Uzupełnienie do bazy dziedziny, czyli do bazy \(\displaystyle{ \RR^4}\) - chodzi o wybranie dwóch wektorów liniowo niezależnych nie należących do jądra.

PiotrWP · Post autor: **PiotrWP** » 16 sty 2015, o 23:58

Zaintrygowało mnie to zadanie.Powiedzmy że rozszerzymy do bazy te dwa wektory ,to co to daje i dlaczego ? Można to jakoś prosto uzasadnić ? Pytam się bo kojarzę z ćw podobne zadanie i nie rozumiałem rozwiązania.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 17 sty 2015, o 00:18

Gdybym Ci odpowiedział na to pytanie, podałbym gotowca Przeczytaj jeszcze raz dokładnie mój pierwszy post w tym wątku.

Co wystarczy wiedzieć, aby w pełni określić odwzorowanie liniowe?

PiotrWP · Post autor: **PiotrWP** » 17 sty 2015, o 00:34

Hmm ,strzelam w macierz odwzorowania liniowego.Ale nie wiem na pewno.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 17 sty 2015, o 08:19

Owszem, ale nie o to pytam. Kontekst dotyczy mojego pierwszego wątku i wskazówki.

Nie podam rozwiązania - sami to wymyślicie. Trzeba tylko uważnie czytać. Także (a może przede wszystkim) treść wykładu dotyczącą określania odwzorowań liniowych.

michals95 · Post autor: **michals95** » 17 sty 2015, o 14:24

\(\displaystyle{ e_{1}=(1,0,0,0) \xrightarrow{F}} (1,-1,1,1) \\
e_{2}=(0,1,0,0) \xrightarrow{F}} (0,-2,1,0) \\
e_{3}=(0,0,1,0) \xrightarrow{F}} ? \\
e_{4}=(0,0,0,1) \xrightarrow{F}} ?\\

\ker{F}=L(B\left|\begin{array}{cc}-1&1&1&1\\-1&0&0&1\end{array}\right|)}\)
Jeśli pierwszy wektor oznaczę za s, a drugi za t i dopisując pierwsze dwa wektory z bazy kanonicznej (wektory obrazu przekształcenia) do macierzy to otrzymam
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&-1&-1\\0&1&1&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)
gdzie wektor pierwszy to x, drugi y, trzeci s, a czwarty t.
\(\displaystyle{ M^{B}_{B}=\left[\begin{array}{cccc}1&0&?&?\\-1&-2&?&?\\1&1&?&?\\1&0&?&?\end{array}\right]\xrightarrow{operacje\\na\\wierszach}\left[\begin{array}{cccc}1&0&-1&-1\\0&1&1&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)
Teraz wykonując przekształcenia na dwóch znanych wektorach obrazu uzyskuję dwa wektory z bazy kanonicznej. Następnie wykonując przekształcenia odwrotne na drugiej macierzy znajduję przekształcenie linowe.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&-1&-1\\0&1&1&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]\xrightarrow{operacje\\odwrotne}\left[\begin{array}{cccc}1&0&-1&-1\\-1&-2&-1&3\\1&1&0&-2\\1&0&-1&-1\end{array}\right]=M^{B}_{B}}\)
Przekształcenie jest prawidłowe (po sprawdzenie bazy jądra i obrazu się zgadzają). Nie wiem tylko jakie komentarze pisać pomiędzy kolejnymi krokami w zadaniu