Jądro obrazu

[ponurasek]

\(\displaystyle{ \ker f = (-2x+2y-2z+t,2x-2y+2z-t,-4x+4y-4z+2t)}\)
Zapisuję to w układ równań, są 3 równania i 4 niewiadome ale układ widać że się "zniesie", bez znaczenia które równanie do którego dodamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x+2y-2z+t=0\\2x-2y+2z-t=0\\-4x+4y-4z+2t=0\end{cases}}\)

Czyli wychodzi z tego że \(\displaystyle{ \ker f=\{0\}}\)?

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ \ker f = (-2x+2y-2z+t,2x-2y+2-t,-4x+4y-4z+2t)}\)

Ten zapis nie ma sensu.

Co do układu:
Wszystkie te równania są liniowo zależne więc jest on równoważny równaniu:

\(\displaystyle{ 2x-2y+2z-t=0}\)

Z tw. Kroneckera-Capellego wynika, że jest on zależny od trzech parametrów. Także parametryzujemy zmienne np. \(\displaystyle{ y,z,t}\) i wyliczamy \(\displaystyle{ x}\).

[ponurasek]

I jest coś np coś takiego \(\displaystyle{ x=\frac{2y-2z+t}{2}}\), po czym wstawiam to za pierwsze równanie, a potem normalnie, tyle że za x ten ułamek? Bo jak był 2 niewiadome to wiadomo, wyrażamy jedną przy pomocy drugiej i zapisujemy. A tutaj jak to będzie wyglądało?

[PeeeR]

Skoro jest to przestrzeń (jądra) opisana układem jednorodnych równań z czterema niewiadomymi, składającym się z jednego równania, to wymiar przestrzeni z tw Kroneckera-Capellego to 3, więc tyle liniowo niezależnych wektorów stanowi bazę przestrzeni jądra.

Sugerowana przeze mnie metoda wyznaczania wektorów bazy przestrzeni opisanej układem równań to zapisanie wektorów \(\displaystyle{ \alpha 1 \alpha 2 ... \alpha n}\) takich, że na pozycji odpowiadającej zmiennej niezależnej \(\displaystyle{ x_{i}}\) (tutaj x,y,z,t) występuje 1, na pozostałych pozycjach zmiennych niezależnych 0, a na miejscu zmiennych zależnych ich wartości.

Tzn. podstaw pod to równanie za pierwszym razem y=1, z=0, t=0, wypisz współczynniki x,y,z,t jako współrzędne wektora pierwszego, potem zrób to samo z y=0, z=1, t=0, a następnie z y=0, z=0, t=1. Sprawdzenie, że układ ten rozpina przestrzeń oraz jest liniowo niezależny jest proste i pozostawię jako proste ćwiczenie.

PS: Oczywiście przy dwóch równaniach miałbyś dwie zmienne niezależne, pod które podstawiałbyś zera i jedynki, a zależne od nich zmienne byłyby dwie (liczba niewiadomych - liczba równań), przestrzeń rozpinana byłaby przez 2 wektory. Analogicznie można konstruować to dla przestrzeni układów n niezależnych równań z m niewiadomymi, o ile jest sens (tj. istnieje przestrzeń rozwiązań - jesli równania są jednorodne to przestrzeń rozwiązań będzie conajmniej trywialna).