Równanie macierzowe

[zolax]

Jak rozwiązać takie równania macierzowe:
1) \(\displaystyle{ A\cdot X=X\cdot A}\)
\(\displaystyle{ A \left( 2,2 \right)}\) jest dana

2) \(\displaystyle{ A \cdot B^{T} \cdot X = C}\)
\(\displaystyle{ A \left( 2,3 \right) ,B \left( 2,3 \right) ,C \left( 2,2 \right)}\) jest dana

3) \(\displaystyle{ \left( \left[ \begin{array}{cc} 0 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right] + 4X \right) ^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\3 & 4 \end{array}\right]}\)

Chodzi mi o przekształcenia aby wyznaczyć niewiadomą jak liczyć to wiem. Z góry dziękuję

[paulinkaa08]

\(\displaystyle{ \ A \cdot B ^{T} \cdot X=C}\)
mnożysz teraz lewostronnie przez macierz odwrotną do A oraz lewostronnie przez macierz odwrotną do macierzy B transponowanej

[yorgin]

paulinkaa08, macierze \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) nie są kwadratowe.

2) Jeżeli \(\displaystyle{ AB^T}\) jest odwracalna, to \(\displaystyle{ X=(AB^T)^{-1}C}\).

3) \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 0 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right] + 4X = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\3 & 4 \end{array}\right]^{-1}}\).

1)+3) Jeżeli macierz \(\displaystyle{ A}\) lub \(\displaystyle{ AB^T}\) nie jest odwracalna, to należy to zrobić "ręcznie", tj nie da się zapisać, że \(\displaystyle{ X=\ldots}\), lecz trzeba wszystko ręcznie wymnożyć w takiej formie, w jakiej jest w równaniu.

[zolax]

Mogę w 2 zapisać to tak:
\(\displaystyle{ X = (B^{T})^{-1} \cdot A^{-1} \cdot C}\)
\(\displaystyle{ X = (B^{T}A)^{-1} \cdot C}\)-- 15 sty 2015, o 19:21 --W tym drugim wyszło mi, że \(\displaystyle{ (B^{T}A)^{-1}}\) nie istnieje. Jak mam to policzyć w inny sposób?

[yorgin]

Wyznaczyć \(\displaystyle{ AB^T}\). Zapisać \(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} a & b\\ c&d}\), wymnożyć i przyrównać do \(\displaystyle{ C}\).

[zolax]

Wyznaczyć \(\displaystyle{ AB^T}\). Zapisać \(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} a & b\\ c&d \end{bmatrix}}\), wymnożyć i przyrównać do \(\displaystyle{ C}\).

Tak właśnie zrobiłem i mam wyszedł mi taki wynik, mógłbys sprawdzić czy nie zrobiłem gdzieś błędu.
\(\displaystyle{ A \cdot B^{T} = \begin{bmatrix} 2 & 2\\ 2&1 \end{bmatrix}}\)
Teraz mnożę to przez X i przyrównuje do C więc mam:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2a+2c & 2b+2d\\ 2a+2c&2b+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2\\ 1&2 \end{bmatrix}}\)
Tworzę układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a+2c=2 / :2\\ 2a+c=1 \\ 2b+2d = 2 / :2\\ 2b+d = 2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+c=1 \\ 2a+c=1 \\ b+d = 1\\ 2b+d = 2 \end{cases}}\)

Wyznaczam sobie c i b i podstawiam do układu:
\(\displaystyle{ c = 1-a}\)
\(\displaystyle{ b = 1-d}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a+1-a=1 \\ 2(1-d)+d=2 \end{cases}}\)

Końcowy wynik:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=0 \\ b=1 \\ c = 1\\ d = 0 \end{cases}}\)

[yorgin]

Wynik wygląda poprawnie (całkiem sprawnie policzony) natomiast wyszedł inny błąd, którego wczoraj nie zauważyłem u Ciebie, choć zwróciłem na to uwagę u paulinkaa08.

W poprzednim poście napisałeś

\(\displaystyle{ X = (B^{T})^{-1} \cdot A^{-1} \cdot C}\)

a to jest przecież bzdura. Pisałem tutaj 379702.htm#p5305210 że macierze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) nie są kwadratowe, więc nie można ich odwracać. Można natomiast próbować odwrócić ich iloczyn. Wzór \(\displaystyle{ (XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}}\) działa tylko dla macierzy kwadratowych.

Macierz \(\displaystyle{ AB^T}\) jest nieosobliwa, więc ma odwrotną.

[zolax]

Rozumiem, dzięki za wyjaśnienie. Tam mi właśnie wyszło, że nie mogę odwrócić tej macierzy więc policzyłem tak jak Ty mi napisałeś i wyszły mi 4 niewiadome więc chyba dobrze. Mam pytanie odnośnie tego 1 jak przekształcić to równanie żeby policzyć X? W 3 zadaniu przekształciłem to w ten sposób:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 0 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right] + 4X = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\3 & 4 \end{array}\right]^{-1}}\)

\(\displaystyle{ A+4X = B^{-1} / \cdot A^{-1} lewostronnie}\)
\(\displaystyle{ 4X = A^{-1} \cdot B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ 4X = (A \cdot B)^{-1} = X = \frac{1}{4} \cdot (A\cdot B)^{-1}}\)
Po wymnożeniu nawiasu mam:
\(\displaystyle{ AB =\begin{bmatrix} 9 & 12\\ -1&2 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ AB^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{15} & - \frac{6}{15} \\ \frac{1}{30} & \frac{3}{10} \end{bmatrix}}\)
Końcowy wynik mam:
\(\displaystyle{ X = \frac{1}{4} \cdot AB^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{60} & - \frac{1}{10} \\ \frac{1}{120} & \frac{3}{40} \end{bmatrix}}\)

Możesz sprawdzić czy jest ok bo te ułamki jakieś podejrzane

[yorgin]

Mam pytanie odnośnie tego 1 jak przekształcić to równanie żeby policzyć X?

Ja bym podstawił \(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} a & b\\ c&d \end{bmatrix}}\), wymnożył i przeliczył. Nie znam \(\displaystyle{ A}\), więc nic więcej nie wymyślę.

\(\displaystyle{ A+4X = B^{-1} / \cdot A^{-1} lewostronnie}\)
\(\displaystyle{ 4X = A^{-1} \cdot B^{-1}}\)

To przejście jest i niepotrzebne, i jest fałszywe.

Skoro

\(\displaystyle{ A+4X=B^{-1}}\)

to

\(\displaystyle{ 4X=B^{-1}-A}\)

\(\displaystyle{ X=\ldots}\)

[zolax]

Aha no tak, tam jest suma a nie iloczyn. Czyli wynik jest zły. Do tego pierwszego:
A = \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ -1&0 \end{bmatrix}}\)
W tym 1 po wymnożeniu X przez A wychodzi mi coś takiego:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a & 0\\ -c&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0\\ -c&0 \end{bmatrix}}\)

Mogę coś dalej z tym zrobić?