Przestrzenie liniowe

[paulinkaa08]

Witam, chciała bym się dowiedzieć w jaki sposób rozwiązać takie zadanie

Zbadaj, czy jest przestrzenią liniową nad R:
a)zbiór rozwiązań równania \(\displaystyle{ x+y+z=0}\);
b)zbiór rozwiązań równania \(\displaystyle{ x+2y=1}\);
c)zbiór rozwiązań układu \(\displaystyle{ x+y+z=0, x-2y+3z=0}\)

Prosiła bym o rozwiązanie tych zadań ale też wytłumaczenie sposobu rozwiązania, aby wiedziała jak rozwiązać podobne zadania.

[a4karo]

Zeby pokazać, że sa to przestrzenie liniowe musisz pokazać:
w a) i c) Jeżeli \(\displaystyle{ (x_1,y_1,z_1)}\) oraz \(\displaystyle{ (x_2,y_2,z_2)}\) spełniają zadane warunki, to \(\displaystyle{ (ax_1+bx_2,ay_1+by_2, az_1+bz_2)}\) też dla dowolnych rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b}\). Ołówek do ręki i licz.

w b) Jeżeli \(\displaystyle{ (x_1,y_1)}\) oraz \(\displaystyle{ (x_2,y_2)}\) spełniają zadane warunki, to \(\displaystyle{ (ax_1+bx_2,ay_1+by_2)}\) też dla dowolnych rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b}\).

Żeby pokazać, że nie są musisz podać kontrprzykład na powyższe warunki.

Ołówek do ręki i ... powodzenia

[paulinkaa08]

czyli mam sprawdzić czy dla \(\displaystyle{ \ (x_1+y_1+z_1)+ (x_2+y_2+z_2)=0}\)?
Z założeń zadania mamy, że x+y+z=0 czyli powyższe równanie jest prawdziwe.
Więc dla \(\displaystyle{ \ (ax_1+bx_2,ay_1+by_2, az_1+bz_2)=a(x_1+y_1+z_1)+b(x_2+y_2+z_2)=0}\) i spełnione dla każdego a,b bo wyrażenia w nawiasach są równe 0.
Czy dobrze to zrozumiałam ?-- 15 sty 2015, o 19:08 --A jest jakiś ogólny sposób, schemat działania który pozwala nam zbadać czy coś jest przestrzenią liniową czy nie ?

[a4karo]

Tak. sprawdzić, czy spełniona jest definicja. To wlasnie zrobilas w pierwszym przykladzie

[krokodylek]

Czy poniższe rozwiązanie jest poprawne?

\(\displaystyle{ x+2y = 1}\)
\(\displaystyle{ v_1=[x_1,y_1]}\)
\(\displaystyle{ v_2=[x_2,y_2]}\)

\(\displaystyle{ v_1 + v_2 = [x_1 + x_2, y_1 + y_2]}\)
\(\displaystyle{ (x_1+x_2) + (2y_1 + 2y_2) = (x_1+2y_1) + (x_2 + 2 y_2) = 1+1 = 2}\)

czyli skoro to nie jest równe 0 to nie będzie to podprzestrzenią ?

[a4karo]

tak

[krokodylek]

to w sumie to już od razu widać 'na oko'
jeśli coś plus coś jest równe 0 to oba warunki - addytywność oraz liniowa niezależność będzie spełniona
jeśli coś plus coś nie jest równe 0 to warunki nie będzie spełnione - więc to nie będzie podprzestrzeń

czy mniej więcej tak to wygląda?

[a4karo]

Tak z grubsza. Pod warunkiem, że równania definiujące będą liniowe

[krokodylek]

no właśnie, a jeśli to nie są równania liniowe?
jak podejść do takich przykładów:

Zbadaj, czy jest przestrzenią liniową nad R:
- zbiór wielomianów parzystego stopnia
- zbiór wielomianów takich, że w(-x) = w(x)
- zbiór funkcji ciągłych f takich że f(1) = 0

pozdrawiam

[a4karo]

We wszystkich przypadkach tak samo. trzeba sprawdzić czy jezeli dwa obiekty spełniaja warunek, to ich suma oraz iloczyn obiektu przez stałą go spełnia.

np czy suma wielomianów parzystego stopnia jest wielomianem parzystego stopnia?
czy suma wielomianów parzystych (to drugi przykłąd) jest wielomianem parzystym?
Czy iloczyn takigo wielomianu przez stałą jest wielomianem nieparzystym?

[krokodylek]

A czy mógłbym prosić o rozwiązanie jednego z tych punktów?
Wiem o co chodzi, jednak nie wiem jak zapisać w sposób 'matematyczny'...

pozdrawiam

[a4karo]

1. podaj przykłąd dwóch wielomianów parzystego stopnia, których suma jest wielomanem stpnia nieparzystego
2 \(\displaystyle{ (w+v)(-x)=w(-x)+v(-x)=\ldots,\quad (aw)(-x)=a\cdot w(-x)=\dots}\)dalej sam
3 \(\displaystyle{ (f+g)(1)=\dots,\quad (af)(1)=a\cdot f(1)=\dots}\) dalej sam

[krokodylek]

1. podaj przykłąd dwóch wielomianów parzystego stopnia, których suma jest wielomanem stpnia nieparzystego

np.
\(\displaystyle{ w(x) = x^4 + x^3}\)
\(\displaystyle{ v(x) = -x^4 + x^3}\)

nie wiem jednak, co daje mi to że znalazłem przykład takich wielomianów
to samo tyczy się kolejnych podpunktów, nie wiem jak zakończyć to zadanie

w przypadku tego podpunktu:
zbiór rozwiązań równania \(\displaystyle{ x+y+z=0}\)
trzeba było zrobić dwa wektory, najpierw addytywność, później sprawdzić liniową niezależność jeśli wychodziło 0 było dobrze. natomiast nie wiem co tutaj ma wyjść

[a4karo]

Tyle Ci daje, że wiesz, że suma tych wielomianów nie musi być wielomianem parzystego stopnia, a zatem ten zbiór nie jest przestrzenią liniową.

Tak nawiasem mówiąc - przeczytałeś i zrozumiałeś definicję podprzestrzeni liniowej?

[krokodylek]

wydaję mi się, że zaczynam rozumieć
w takim razie te podpunkty:

- zbiór wielomianów takich, że w(-x) = w(x)
- zbiór funkcji ciągłych f takich że f(1) = 0

tworzą przestrzeń liniową nad R, tak?