Czy f jest rzutem ?

[cukierek55]

Niech \(\displaystyle{ f: R^{3} \rightarrow R^{3}}\) będzie w pewnej bazie zadane przez macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&2&-1\\-2&5&-2\\-4&8&-3\end{bmatrix}}\).

Czy \(\displaystyle{ f}\) jest rzutem?

Od czego zacząć rozwiązując zadanie? Co robić krok po kroku?

[szw1710]

Jakie są wymiary jądra i obrazu? Widać to bezpośrednio z postaci macierzy.

[cukierek55]

Mam przed sobą definicję, że jeśli
\(\displaystyle{ f: V \rightarrow V}\) jest rzutem na \(\displaystyle{ V_{1}}\) wzdłuż \(\displaystyle{ V_{2}}\), to \(\displaystyle{ ker f=V_{2}, imf=V_{1}}\) i \(\displaystyle{ dim \ imf= dimV_{1}}\).

Nie potrafię z postaci macierzy wydedukować jakie są wymiary jądra i obrazu.

[szw1710]

To robi się w 20 sekund licząc rząd. Jest twierdzenie wiążące wymiary dziedziny, jądra i obrazu odwzorowania liniowego.

[cukierek55]

Czy chodzi o:
\(\displaystyle{ dimV=dim \ ker f+ dim \ im f}\)?

Wyszło mi \(\displaystyle{ dim \ ker f=1}\) i \(\displaystyle{ dim \ imf=2}\).
Jak podstawię do wzoru wyżej to wszystko się zgadza, bo dimV=3=2+1=3.

Czy z tego już wynika, że \(\displaystyle{ f}\) jest rzutem ?

[szw1710]

Nie - to jest wskazówka. Wobec tego co jest obrazem tego odwzorowania?

[cukierek55]

Dostałam \(\displaystyle{ lin((1,0,-1),(0,1,2))=lin(f( \alpha _{1}),f( \alpha _{2}),f( \alpha _{3})}\)

[szw1710]

Obraz jest więc dwuwymiarowy. Obraz jest podprzestrzenią w przeciwdziedzinie. Więc jakim obiektem geometrycznym jest ten obraz?

[cukierek55]

Prostą?

[szw1710]

Iluwymiarowym obiektem jest prosta?

[cukierek55]

Chyba dwuwymiarową. Powoli zaczynam się gubić, do czego właściwie zmierzamy?

[szw1710]

Do zbadania czy zadane przekształcenie jest rzutem. Zaproponowałem zbadanie obrazu. Sprawdziliśmy, że jest dwuwymiarowy, a Ty twierdzisz, że wobec tego to jest prosta. Kiepsko twierdzisz. Gdzie na prostej masz dwa wymiary?

[cukierek55]

No tak, racja. Chodzi może o płaszczyznę ?

[szw1710]

Już ostrożniej. Chciałaby, a się boi Zgadujesz. No dobrze, to jest płaszczyzna. Więc gdyby to był rzut, rzutowałoby się na płaszczyznę.

Dobrze. A jakie jest jądro tego odwzorowania? Znów pytam o to, jaki to obiekt geometryczny.

[cukierek55]

Skoro jądro jest jednowymiarowe, to tym razem to będzie prosta.