Witam, mam zadanie za które nie wiem jak się zabrać. Proszę o pomoc i z góry dziękuję.
Sprawdzić czy poniższy zbiór V jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ \left(\RR^{3}, \RR,+, \cdot )}\)
\(\displaystyle{ V=\{\left(x,y,z\right) \in \RR^{3} : x+y+z=x-y=0 \}}\)
Jeśli tak, sprawdzić czy wektor (4,4,2) jest elementem tej podprzestrzeni.
Podprzestrzeń liniowa przestrzeni
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Podprzestrzeń liniowa przestrzeni
Witaj,
przekształćmy nieco wzór opisujący \(\displaystyle{ V}\): z drugiej równości mamy \(\displaystyle{ y=x}\), a stąd i z pierwszej \(\displaystyle{ z=-2x}\). Zatem \(\displaystyle{ V=\{(x,x,-2x):x\in\RR\}}\).
Łatwo wykażesz teraz, że \(\displaystyle{ V}\) jest podprzestrzenią (łatwo wskazać jej bazę).
przekształćmy nieco wzór opisujący \(\displaystyle{ V}\): z drugiej równości mamy \(\displaystyle{ y=x}\), a stąd i z pierwszej \(\displaystyle{ z=-2x}\). Zatem \(\displaystyle{ V=\{(x,x,-2x):x\in\RR\}}\).
Łatwo wykażesz teraz, że \(\displaystyle{ V}\) jest podprzestrzenią (łatwo wskazać jej bazę).