Podprzestrzeń liniowa przestrzeni

[DerRise]

Witam, mam zadanie za które nie wiem jak się zabrać. Proszę o pomoc i z góry dziękuję.

Sprawdzić czy poniższy zbiór V jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ \left(\RR^{3}, \RR,+, \cdot )}\)

\(\displaystyle{ V=\{\left(x,y,z\right) \in \RR^{3} : x+y+z=x-y=0 \}}\)

Jeśli tak, sprawdzić czy wektor (4,4,2) jest elementem tej podprzestrzeni.

[lukasz1804]

Witaj,

przekształćmy nieco wzór opisujący \(\displaystyle{ V}\): z drugiej równości mamy \(\displaystyle{ y=x}\), a stąd i z pierwszej \(\displaystyle{ z=-2x}\). Zatem \(\displaystyle{ V=\{(x,x,-2x):x\in\RR\}}\).

Łatwo wykażesz teraz, że \(\displaystyle{ V}\) jest podprzestrzenią (łatwo wskazać jej bazę).