Witam!
Mam problem z poniższym zadaniem:
Skonstruuj endomorfizm:
\(\displaystyle{ f:R^{4} \rightarrow R^{4}}\), taki, że \(\displaystyle{ Ker \ f = Lin\left\{ u_{1}, u_{2} \right\}}\) i \(\displaystyle{ Im \ f = Lin\left\{ v_{1}, v_{2} \right\}}\)
\(\displaystyle{ u_{1} = \left( 1, 1, -1, 0\right)}\)
\(\displaystyle{ u_{2} = \left( 1, 1, 0, 1\right)}\)
\(\displaystyle{ v_{1} = \left( 1, 1, 1, 1\right)}\)
\(\displaystyle{ v_{2} = \left( 1, 0, 1, 0\right)}\)
Najpierw próbowałem znaleźć wzór z jądra.
\(\displaystyle{ \left\{ \left( 1, 1, -1, 0\right), \left( 1, 1, 0, 1\right) \right\} = x\left( 1, 1, -1, 0\right) + y\left( 1, 1, 0, 1\right) = \left( x+y, x+y, -x, y\right)}\)
Później szukałem z obrazu. Analogicznie jak wyżej, inne zmienne.
\(\displaystyle{ \left( a+b, a, a+b, a\right)}\)
Kiedy przyrównuję te dwa wzoru to z układu równań wynika, że każdy parametr ma wartość 0.
A więc jest to endomorfizm postaci \(\displaystyle{ f\left( x, y, z, w\right) = \left( 0, 0, 0, 0\right)}\)?
Nie mam pojęcia czy to jest dobrze. Proszę mnie nie zlinczować za ewentualne herezje i błędy.
Z góry dziękuję za pomoc i wskazówki,
pozdrawiam!
Konstruowanie endomorfizmu
- sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Konstruowanie endomorfizmu
te 4 wektory tworzą bazę, bo wyznacznik z nich utworzony wychodzi \(\displaystyle{ \neq 0}\)
dowolny wektor można przedstawić w postaci kombinacji liniowej tych wektorów:
\(\displaystyle{ (x,y,z,t) = \alpha_1 v_1 + \ldots}\)
gdzie \(\displaystyle{ v_i}\) wypisuje w kolejności w jakiej były wypisane w poście
\(\displaystyle{ \alpha_1 = y - t \\
\alpha_2 = x - 2y - z + 2t\\
\alpha_3 = -x + 2y + z - 2t\\
\alpha_4 = x - y}\)
\(\displaystyle{ f}\) konstruujemy tak, żeby \(\displaystyle{ v_1 \rightarrow 0, v_2 \rightarrow 0, v_3 \rightarrow v_3, v_4 \rightarrow v_4}\)
mnie wychodzi coś takiego:
\(\displaystyle{ f(x,y,z,t) = (y + z - t, -x + 2y + z -t, y + z -t, -x + 2y + z - t)}\)
dowolny wektor można przedstawić w postaci kombinacji liniowej tych wektorów:
\(\displaystyle{ (x,y,z,t) = \alpha_1 v_1 + \ldots}\)
gdzie \(\displaystyle{ v_i}\) wypisuje w kolejności w jakiej były wypisane w poście
\(\displaystyle{ \alpha_1 = y - t \\
\alpha_2 = x - 2y - z + 2t\\
\alpha_3 = -x + 2y + z - 2t\\
\alpha_4 = x - y}\)
\(\displaystyle{ f}\) konstruujemy tak, żeby \(\displaystyle{ v_1 \rightarrow 0, v_2 \rightarrow 0, v_3 \rightarrow v_3, v_4 \rightarrow v_4}\)
mnie wychodzi coś takiego:
\(\displaystyle{ f(x,y,z,t) = (y + z - t, -x + 2y + z -t, y + z -t, -x + 2y + z - t)}\)
- sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Konstruowanie endomorfizmu
\(\displaystyle{ f(\alpha_1 \cdot v_1 + \ldots ) = \alpha_1 f(v_1) + \ldots}\)
i teraz na siłę \(\displaystyle{ f(v_1) = 0, f(v_2) = 0, f(v_3) = v_3, f(v_4) = v_4}\)
określamy \(\displaystyle{ f}\) podając wartości na wektorach bazowych
i teraz na siłę \(\displaystyle{ f(v_1) = 0, f(v_2) = 0, f(v_3) = v_3, f(v_4) = v_4}\)
określamy \(\displaystyle{ f}\) podając wartości na wektorach bazowych
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 17 lis 2015, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Pl
- Podziękował: 1 raz
Konstruowanie endomorfizmu
Czy mogę prosić o wyjaśnienie, w jaki sposób zostało wyliczone \(\displaystyle{ \alpha _{1}}\) i inne?-- 12 sty 2016, o 20:52 --Ok, mam już.