Konstruowanie endomorfizmu

[majkz]

Witam!

Mam problem z poniższym zadaniem:
Skonstruuj endomorfizm:
\(\displaystyle{ f:R^{4} \rightarrow R^{4}}\), taki, że \(\displaystyle{ Ker \ f = Lin\left\{ u_{1}, u_{2} \right\}}\) i \(\displaystyle{ Im \ f = Lin\left\{ v_{1}, v_{2} \right\}}\)
\(\displaystyle{ u_{1} = \left( 1, 1, -1, 0\right)}\)
\(\displaystyle{ u_{2} = \left( 1, 1, 0, 1\right)}\)
\(\displaystyle{ v_{1} = \left( 1, 1, 1, 1\right)}\)
\(\displaystyle{ v_{2} = \left( 1, 0, 1, 0\right)}\)

Najpierw próbowałem znaleźć wzór z jądra.
\(\displaystyle{ \left\{ \left( 1, 1, -1, 0\right), \left( 1, 1, 0, 1\right) \right\} = x\left( 1, 1, -1, 0\right) + y\left( 1, 1, 0, 1\right) = \left( x+y, x+y, -x, y\right)}\)

Później szukałem z obrazu. Analogicznie jak wyżej, inne zmienne.
\(\displaystyle{ \left( a+b, a, a+b, a\right)}\)

Kiedy przyrównuję te dwa wzoru to z układu równań wynika, że każdy parametr ma wartość 0.
A więc jest to endomorfizm postaci \(\displaystyle{ f\left( x, y, z, w\right) = \left( 0, 0, 0, 0\right)}\)?

Nie mam pojęcia czy to jest dobrze. Proszę mnie nie zlinczować za ewentualne herezje i błędy.

Z góry dziękuję za pomoc i wskazówki,
pozdrawiam!

[sebnorth]

te 4 wektory tworzą bazę, bo wyznacznik z nich utworzony wychodzi \(\displaystyle{ \neq 0}\)

dowolny wektor można przedstawić w postaci kombinacji liniowej tych wektorów:

\(\displaystyle{ (x,y,z,t) = \alpha_1 v_1 + \ldots}\)

gdzie \(\displaystyle{ v_i}\) wypisuje w kolejności w jakiej były wypisane w poście

\(\displaystyle{ \alpha_1 = y - t \\

\alpha_2 = x - 2y - z + 2t\\

\alpha_3 = -x + 2y + z - 2t\\

\alpha_4 = x - y}\)

\(\displaystyle{ f}\) konstruujemy tak, żeby \(\displaystyle{ v_1 \rightarrow 0, v_2 \rightarrow 0, v_3 \rightarrow v_3, v_4 \rightarrow v_4}\)

mnie wychodzi coś takiego:

\(\displaystyle{ f(x,y,z,t) = (y + z - t, -x + 2y + z -t, y + z -t, -x + 2y + z - t)}\)

[majkz]

W jaki sposób konstruujemy to \(\displaystyle{ f}\)?

[sebnorth]

\(\displaystyle{ f(\alpha_1 \cdot v_1 + \ldots ) = \alpha_1 f(v_1) + \ldots}\)

i teraz na siłę \(\displaystyle{ f(v_1) = 0, f(v_2) = 0, f(v_3) = v_3, f(v_4) = v_4}\)

określamy \(\displaystyle{ f}\) podając wartości na wektorach bazowych

[sinet]

Czy mogę prosić o wyjaśnienie, w jaki sposób zostało wyliczone \(\displaystyle{ \alpha _{1}}\) i inne?-- 12 sty 2016, o 20:52 --Ok, mam już.