wyznacznik macierzy

[Au7h]

Witam,
Jak sobie radzić z takimi zadaniami?

a) Obliczyć \(\displaystyle{ det A}\) jeżeli \(\displaystyle{ A^2 = 8A^{-1}}\)
b) Uzasadnić, że \(\displaystyle{ X = BC^{-1}A}\) spełnia równanie macierzowe \(\displaystyle{ AX^{-1}B=C}\) A,B,C,X to macierze.

podpunkt a rozumiem tak:

\(\displaystyle{ A^2 = 8A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A * A = 8A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A = \frac{8A^{-1}}{A}}\)
\(\displaystyle{ A = \frac{8}{A} * \frac{1}{A} = \frac{8}{A^2}}\)
\(\displaystyle{ A^3 = 8}\)
\(\displaystyle{ A = 2}\)

czyli wyszła mi macierz jednoelementowa [2], więc jej wyznacznikiem det A jest 2.
Dobrze to rozumiem?

podpunktu b już nie rozkminię, podstawiłem do równania za macierz X, \(\displaystyle{ BC^{-1}A}\) i wyszło tak: \(\displaystyle{ A(BC^{-1}A)^{-1}B = C}\)
\(\displaystyle{ A (B)^{-1}C(A)^{-1}B=C}\)
i gdybym tak zamienił kolejnoś na taką: \(\displaystyle{ A (A)^{-1}C(B)^{-1}B=C}\) to nie byłoby problemu, ale z tego co mi wiadomo nie mogę tak zmienić.

[miodzio1988]

a to totalne bzdury

w b wystarczy wstawic to do rownania

[Au7h]

Więc w b zatrzymałem się na \(\displaystyle{ A(B)^{-1}C(A)^{-1}B = C}\), jak się za to zabrać?
Bo mnożenie macierzy nie jest przemienne i nie można zmienić kolejności, żeby macierz A pomnożyć przed odwrotną do niej i dostać macierz jednostkową, i to samo z B i wtedy C = C

[miodzio1988]

Ale chwila chwila

Od kiedy \(\displaystyle{ ( A\cdot B) ^{-1} =A^{-1} B^{-1}}\)

?

[Au7h]

A no tak, na odwrót miało być
\(\displaystyle{ A(BC^{-1}A)^{-1}B=C}\)

\(\displaystyle{ AA^{-1}(BC^{-1})^{-1}B=C}\)

\(\displaystyle{ AA^{-1}(C^{-1})^{-1}B^{-1}B=C}\)

\(\displaystyle{ AA^{-1}CB^{-1}B = C}\)
\(\displaystyle{ C = C}\)

teraz jest dobrze?

Dalej nie wiem jak się wziąć za to pierwsze